Prawdopodobieństwo

Co to jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego? Przedstawimy tutaj dwie definicje prawdopodobieństwa.

Definicja aksjomatyczna

Nich zdarzenia \(A, B\) są podzbiorami jednego zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\). Prawdopodobieństwo określone w zbiorze \(\Omega\) zajścia zdarzenia \(A\) jest to taka funkcja \(P\), która każdemu zdarzeniu \(A\) przyporządkowuje liczbę \(P(A)\), która spełnia warunki:

\(0\leq P(A)\leq 1\)
\(P(\Omega)=1\) (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1).
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) (prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń).

Definicja ta nie mówi jak obliczyć prawdopodobieństwo danego zdarzenia. Dlatego warto poznać następującą definicję prawdopodobieństwa:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli \(\Omega\) jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i \(A\subset \Omega\), to prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) nazywamy liczbę \(P(A)\) taką, że:

\(P(A)=\frac{\overline{ \overline{A}}}{ \overline{ \overline{\Omega}}}\)

Oznaczenia: \(\overline{\overline{A}}\) jest to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, a \(\overline{\overline{\Omega}}\) jest liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych zbioru \(\Omega\).

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wykorzystamy w poniższych przykładach.

Oto kilka przykładów jak obliczać klasyczne prawdopodobieństwo:

Przykład 1

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek symetryczną kością do gry.

Ponieważ mamy do czynienia z kością symetryczną, to można przyjąć, że zdarzenia jednoelementowe \(\omega\) (wyrzucenie jedynki — \(\omega_1\), dwójki — \(\omega_1\) itd.) są tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

\(\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \rbrace\)

\(\overline{\overline{\Omega}}=6\)

\(A\) — zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek.

\(A=\lbrace \omega_2, \omega_4, \omega_6 \rbrace\)

\( \overline{\overline{A}}=3\)

Obliczamy prawdopodobieństwo klasyczne:

\(P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

Przykład 2

Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy razy pod rząd reszki?

Przyjmujemy, że wyrzucenie orła (\(o\)) wyrzucenie reszki (\(r\)) jest tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

\(\Omega=\lbrace (o,o,o), (o,o,r), (o,r,o), (o,r,r), (r,o,o), (r,o,r), (r,r,o), (r,r,r) \rbrace\)

\(\overline{\overline{\Omega}}=8\)

\(A\) — zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu trzy razy pod rząd reszki.

\(A=\lbrace (r,r,r) \rbrace\\ \overline{\overline{A}}=1\)

Obliczamy prawdopodobieństwo:

\(P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{ \overline{\overline{\Omega}}} =\frac{1}{8}\)

Własności prawdopodobieństwa

W niniejszym artykule omówimy podstawowe własności prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy

Jeżeli doświadczenia losowe \(A_1, A_2, ..., A_n\) wykluczają się parami, to prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw: \(P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\).
Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

Przykład

Obliczyć prawdopodobieństwo wyjęcia asa lub karo z talii 52 kart.

Niech zdarzenie \(A\) oznacza wyciągnięcie asa, \(B\) — wyciągnięcie karo. Słowo „lub” użyte w treści zadania sugeruje, że musimy obliczyć prawdopodobieństwo \(P(A\cup B)\). Który wzór stosować? Zauważmy, że zdarzenia \(A, B\) nie wykluczają się nawzajem, gdyż as może być w kolorze karo. Określamy więc zdarzenie \(A\cap B\) oznaczające wylosowanie asa karo. Mamy więc:

\(P(A)=\frac{4}{52}\) — mamy w talii 52 kart 4 asy.
\(P(B)=\frac{13}{52}\) — mamy w talii 52 kart 13 kart w tym samym kolorze.
\(P(A\cap B)=\frac{1}{52}\) — mamy w talii 52 kart 1 asa karo.
Obliczamy szukane prawdopodobieństwo: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\).

Twierdzenie 1

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe różnicy liczby \(1\) i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do \(A\):

\(P(A)=1-P(A')\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero.

\(P(\emptyset)=0\)

Przykłady

Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 9 jest równe zero w rzucie kostką do gry.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia wylosowania liczby 100 w lotto jest równe 0.

Twierdzenie 2

Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to:

\(P(A)\leq P(B)\)

\(P(B\setminus A)=P(B)-P(A)\)

Pytania

Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego?

Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności.

Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w lotto?

Odpowiedź brzmi:

\(P(A)=\frac{\overline{ \overline{A}}}{ \overline{ \overline{\Omega}}} =\frac{1}{13983816}\)

Zadanie to rozwiązujemy w jako przykładowe zadanie w artykule - Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

\(\frac{15}{35}\)
\(\frac{1}{50}\)
\(\frac{15}{30}\)
\(\frac{35}{50}\)

Rodzaj kupionych biletów	Liczba osób
ulgowe	76
normalne	41

Badane grupy	Liczba osób popierających budowę przedszkola	Liczba osób niepopierających budowy przedszkola
Kobiety	5140	1860
Mężczyźni	2260	740