Własności prawdopodobieństwa

W niniejszym artykule omówimy podstawowe własności prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy

Twierdzenie

Jeżeli doświadczenia losowe wykluczają się parami, to prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw: $P(A_1\cup A_2\cup ... \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$ .

Twierdzenie

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

Przykład

Obliczyć prawdopodobieństwo wyjęcia asa lub karo z talii 52 kart.

Niech zdarzenie A oznacza wyciągnięcie asa, B - wyciągnięcie karo. Słowo "lub" użyte w treści zadania sugeruje, że musimy obliczyć prawdopodobieństwo $P(A\cup B)$ . Który wzór stosować? Zauważmy, że zdarzenia A, B nie wykluczają się nawzajem, gdyż as może być w kolorze karo. Określamy więc zdarzenie $A\cap B$ oznaczające wylosowanie asa karo. Mamy więc:

$P(A)=\frac{4}{52}$ - mamy w talii 52 kart 4 asy.
$P(B)=\frac{13}{52}$ - mamy w talii 52 kart 13 kart w tym samym kolorze.
$P(A\cap B)=\frac{1}{52}$ - mamy w talii 52 kart 1 asa karo.

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$ .

Twierdzenie

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do A: .

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

Twierdzenie

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero. $P(\empty)=0$ .

Przykład

Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 9 jest równe zero w rzucie kostką do gry.

Przykład

Prawdopodobieństwo wyrzucenia wylosowania liczby 100 w lotto jest równe 0.

Inne własności

Twierdzenie

Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to: $P(A)\leq P(B),\ P(B\backslash A)=P(B)-P(A)$ .

Pytania

Ile wynosi ptawdopodobieństwo zdarzenia pewnego?

Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A' - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A)=2P(A'), to:

A. P(A)=2/3
B. P(A)=1/2
C. P(A)=1/3
D. P(A)=1/6

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?

Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa

Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

Zdarzenia niezależne

Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.

Schemat Bernoulliego

Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.