Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy oznaczenia:
Mamy dane: \(A=(-2,0),\ B=(2,0)\).
Oznaczmy współrzędne \(C\) przez \(C=(x,y)\).
Ponieważ punkt \(C\) leży na paraboli o danym równaniu, wiemy ile wynosi współrzędna \(y\) tego punktu:
\(C=(x,2-\frac{1}{2}x^2)\)
Znajdziemy teraz współrzędne punktu \(D\). Wiemy, że parabola jest symetryczna względem osi \(Oy\). Zatem współrzędna \(y\) punktu \(D\) jest taka sama jak punktu \(C\), natomiast współrzędna \(x\) jest przeciwna. Stąd:
\(D=(-x,2-\frac{1}{2}x^2)\)
Długości odcinków \(a, b\) i \(h\) policzymy ze wzoru:
Obliczamy długość odcinka \(a\):
\(a=\sqrt{(2+2)^2+0^2}=4\)
Obliczamy teraz długość odcinka \(b\):
\(b=\sqrt{(x+x)^2+(2-2+\frac{1}{2}x^2)^2}=\sqrt{4x^2}=2x\)
W przypadku długości \(h\) możemy odczytać długość wprost z wykresu:
\(h=2-\frac{1}{2}x^2\)
Pole trapezu obliczymy ze wzoru:
Mamy więc:
\(P(x)=\frac{1}{2}(4+2x)(2-\frac{1}{2}x^2)=(2+x)(2-\frac{1}{2}x^2)=\)
\(=-\frac{x^3}{2}+2x-x^2+2\)
Uzależniliśmy pole trapezu od pierwszej współrzędnej punktu \(C\). Znajdziemy teraz maksimum tej funkcji.
Jeżeli funkcja \(P(x)\) ma ekstremum w danym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna tej funkcji w tym punkcie jest równa zeru. Obliczamy pochodną funkcji \(P(x)\):
\(P'(x)=\frac{-3x^2}{2}+2-2x\)
Badamy w jakich punktach pochodna jest równa zeru.
\(\frac{-3x^2}{2}+2-2x=0/\cdot 2\)
\(-3x^2-4x+4=0\)
\(\Delta=16+48=64\)
\(x_1=\frac{2}{3}\)
\(x_2=-2\)
W tym miejscu pamiętamy, że \(x\) może przyjmować wartości od \(0\) do \(2\) (zgodnie z warunkami zadania punkt \(C\) nie może się znajdować w innym obszarze), więc tylko pierwszy pierwiastek nas interesuje. Zapiszmy postać iloczynową naszego trójmianu:
\(x\in(0;2)\)
\(P'(x)=-\frac{3}{2}(x-\frac{2}{3})(x+2)\)
Pochodna \(P'(x)>0\) wtedy i tyko wtedy, gdy \(x-\frac{2}{3}<0\) i \(x\in (0;2)\), czyli \(x\in (0;\frac{2}{3})\).
Pochodna \(P'(x)<0\) wtedy i tyko wtedy, gdy \(x-\frac{2}{3}>0\) i \(x\in (0;2)\), czyli \(x\in (\frac{2}{3};2)\).
Zatem w punkcje \(x=\frac{2}{3}\) funkcja posiada maksimum.
\(x_0=\frac{2}{3}\)
\( C=(\frac{2}{3},2-\frac{1}{2}\cdot(\frac{2}{3})^2)=(\frac{2}{3},\frac{16}{9})\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3288
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 2.
Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).
Zadanie nr 4.
Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).
Zadanie nr 6.
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:
A. \(a=5\) i \(b=5\)
B. \(a=-1\) i \(b=2\)
C. \(a=4\) i \(b=10\)
D. \(a=-4\) i \(b=-2\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa
A. \(12\)
B. \(6\)
C. \(6\sqrt{2}\)
D. \(2\sqrt{6}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa
A. \(2\sqrt{34}\)
B. \(8\)
C. \(\sqrt{34}\)
D. \(12\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że
A. \(b=-28\)
B. \(b=-14\)
C. \(b=-24\)
D. \(b=-10\)