Zadanie maturalne nr 34, matura 2014
Treść zadania:
Kąt \(CAB\) trójkąta prostokątnego \(ACB\) ma miarę \(30°\). Pole kwadratu \(DEFG\), wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).
Rozwiązanie zadania
Niech a oznacza długość boku kwadratu \(DEFG\). Ponieważ pole tego kwadratu jest równe \(4\), długość boku jest równa \(a=2\).
Trójkąt \(ADE\) to „połowa trójkąta równobocznego” o boku \(AD\) i wysokości \(AE\). Ponieważ kąt \(DAE\) ma miarę 30°, stąd wniosek o tym że opisywany trójkąt jest równoboczny (suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°). Mamy więc:
\(|AD|=2a=4\)
\(|AE|-\frac{|AD|\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
\(d=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Trójkąt \(GBF\) to „połowa trójkąta równobocznego” o boku \(BG\) i wysokości \(FG\), więc:
\(|BG|-2|BF|\)
\(|FG|=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}\)
Stąd:
\(2=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}\)
\(\|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(|BF|=\frac{1}{2}|BG|=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Obliczamy \(|AB|\):
\(|AB|=|AE|+|EF|+|BF|=\)
\(=2\sqrt{3}+2+\frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+2+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}+2\)
Trójkąt \(ACB\) jest „połową trójkąta równobocznego” o boku \(AB\). Zatem
\(|BC|=\frac{1}{2}|AB|\)
\(|CD|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|\)
Możemy już teraz przystąpić do obliczenia pola naszego trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}|AC||BC|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}|AB|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}|AB|=\frac{\sqrt{3}}{8}|AB|^2\)
\(P=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{8}{3}\sqrt{3}+2)^2=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{64}{9}\cdot 3+\frac{32}{3}\sqrt{3}+4)=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3457
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).
Zadanie nr 2.
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).
Zadanie nr 3.
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.
Zadanie nr 4.
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A. 60 000 PLN
B. 50 000 PLN
C. 50 000 PLN
D. 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Zadanie nr 5.
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
Zadanie nr 6.
Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.
Zadanie nr 7.
Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.
Zadanie nr 8.
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \(\alpha=30°\). Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
Zadanie nr 9.
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2, 3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.
Zadanie nr 10.
Dany jest trójkąt \(A, B, C\) o wierzchołkach \(A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1)\). Oblicz jego pole.
Zadanie nr 11.
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?
Zadanie nr 12.
W trójkąt równoramienny o polu \(\sqrt{15}\) wpisano okrąg o promieniu \(r=\frac{\sqrt{15}}{5}\). Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu \(R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\). Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie nr 13 — maturalne.
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:
A. \(14\)
B. \(2\sqrt{33}\)
C. \(4\sqrt{33}\)
D. \(12\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy:
A. \(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(3+\sqrt{3}\)
D. \((2+\sqrt{2}\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).
Zadanie nr 16 — maturalne.
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie nr 17 — maturalne.
Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\) (zobacz rysunek).
Pole tego trójkąta jest równe
A. \(12\)
B. \(\frac{37}{3}\)
C. \(\frac{62}{5}\)
D. \(\frac{64}{5}\)
Zadanie nr 18 — maturalne.
Punkty \(A=(−20, 12)\) i \(B=(7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.
Zadanie nr 19 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty — odpowiednio — \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=|AE=\frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).