DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH

Dla liczb naturalnych m i n oraz liczb rzeczywistych a≥0 i b≥0 prawdziwe są następujące wzory:

$1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:
$(\sqrt[5]{77})^5=77$
Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.

Przykłady zastosowania drugiego wzoru:
$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}$
$\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}$

Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:
$\sqrt[3]{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{3}$
$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$

Przykłady zastosowania czwartego wzoru:
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[4\cdot 3]{12}=\sqrt[12]{12}$
$\sqrt[4]{\sqrt{256}}=\sqrt[4\cdot 2]{256}=\sqrt[8]{256}=2$

Przykłady zastosowania piątego wzoru:
$(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$
$(\sqrt[4]{3})^3=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}$

Dla każdej wartości a (a nie tylko dla dodatnich lub równych zero) pierwszy przytoczony tutaj wzór dla stopnia drugiego pierwiastka przyjmuje postać.

$\sqrt{a^2}=|a|$