logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Równanie kwadratowe z parametrem

Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia. Rozwiązując równanie z parametrem, rozwiązujemy całą grupę (klasę) równań.

Poniżej przykład zadania, w którym używa się parametru.

Zadanie

Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x:
(m-1)x^2+x+3=0

Aby powyższe równanie mogło być równaniem kwadratowym wartość współczynnika przy drugiej potędze x musi być różna od zera:
m-1\neq{0}\\m\neq{1}
Dla m=1 mamy równanie liniowe x+3=0, którego rozwiązaniem jest liczba -3.
Zajmijmy się jednak przypadkiem równania kwadratowego. Mamy tutaj:
a=m-1\\b=1\\c=3
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=1-12(m-1)=1-12m+12=-12m+13

Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć.

Rozwiązanie takiego równania jest dość skomplikowane, jednak opłaca się to. Zauważ, że tak naprawdę rozwiązaliśmy nieskończenie wiele różnych równań kwadratowych i jedno liniowe, gdyż za parametr m możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą!

Oto inny, bardziej złożony przykład.

Zadanie

Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x przy założeniu, że parametr k jest różny od zera: kx^2+x+k=0

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym, ponieważ k jest różne od zera:
Mamy tutaj:
a=k\\b=1\\c=k
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=1-4k^2=-4(k^2-\frac{1}{4})=-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})

Rozłożyliśmy wyróżnik na czynniki liniowe, aby łatwiej można było badać jego znak.
Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć. Wcześniej warto sporządzić szkic wykresu, na podstawie którego można odczytać rozwiązanie. Mamy już miejsca zerowe: 1/2 i -1/2, ponieważ a=-4, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.

© Media Nauka, 2009-08-15, ART00154/274


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 59 - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

Zadanie 155 - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Zadanie 221 - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

Zadanie 222 - równanie kwadratowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

Zadanie 223 - równanie kwadratowe z parametrem
Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

Zadanie 224 - równanie kwadratowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

Zadanie 225 - równanie z parametrem
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.




Poprzedni artykuł  Poprzedni artykuł 
Następny artykuł  Następny artykuł 


Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Lekcja: Równanie kwadratowe i dwukwadratowe
» Równanie kwadratowe
» Wzory Viete'a
» Równanie dwukwadratowe
Równanie kwadratowe z parametrem
» Test kontrolny

Pozostało...
244 dni do matury 2015
Pozostało...
231 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
211 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.