Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie 626 - pole trójkąta


W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z dwóch wzorów na pole trójkąta, gdy dane są promienie okręgu wpisanego i opisanego:

P=\frac{abc}{4R}\\ P=\frac{a+b+c}{2}r

My mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, czyli długość dwóch boków jest taka sama. Oznaczmy długość ramienia przez a i podstawy trójkąta przez b. Pierwszy z powyższych wzorów przyjmie postać (po uwzględnieniu danego pola oraz promienia okręgu opisanego):

P=\frac{a\cdot a\cdot b}{4R}\\ P=\frac{a^2b}{4R}/\cdot 4R\\ a^2b=4RP\\ P=\sqrt{15}\\ R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\\ a^2b=4\cdot \frac{8\sqrt{15}}{15} \cdot \sqrt{15}\\ a^2b=32

Drugi z przytoczonych wyżej wzorów przyjmuje postać:

P=\frac{a+a+b}{2}\cdot r\\ P=\frac{2a+b}{2}r/\cdot \frac{2}{r}\\ 2a+b=\frac{2P}{r}\\ P=\sqrt{15}\\ r=\frac{\sqrt{15}}{5}\\ 2a+b=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}\\ 2a+b=10

Otrzymaliśmy dwa równania i mamy dwie niewiadome. Rozwiązujemy układ równań:

\begin{cases}a^2b=32\\ 2a+b=10\end{cases}\\ \begin{cases}a^2b=32\\ b=10-2a\end{cases}\\ a^2(10-2a)=32\\ 10a^2-2a^3-32=0/:(-2)\\ a^3-5a^2+16=0

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy pośród dzielników wyrazu wolnego:

W(2)=2^3-5\cdot 2^2+16=8-20+16=4\neq 0\\ W(4)=4^3-5\cdot 4^2+16=64-80+16=0

Liczba 4 jest pierwiastkiem równania. Dzielimy pisemnie wielomiany:

(a^3-5a^2+16):(a-4)=a^2-a-4\\ \underline{a^3-4a^2}\\ \ \ \ -a^2+16\\ \ \ \ \underline{-a^2+4a} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4a+16\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4a+16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0

Nasze równanie a^3-5a^2+16=0 możemy zapisać w postaci:

(a-4)(a^2-a-4)=0

Drugi z nawiasów zawiera trójmian kwadratowy, który teraz rozkładamy na czynniki:

a^2-a-4\\ \Delta_a=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ a_1=\frac{-(-1)-\sqrt{17}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0\\ a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

Pierwsze z rozwiązań musimy odrzucić, gdyż długość boku trójkąta nie może być ujemna. Równanie przyjmuje postać:

(a-4)(a-\frac{1-\sqrt{17}}{2})(a+\frac{1+\sqrt{17}}{2})=0

Przyjmujemy dwa rozwiązania z powyższych trzech i wracamy do naszego układu równań, aby wyznaczyć długość boku b trójkąta.

b=10-2a\\ \begin{cases}a_1=4\\ b_1=10-2a_1=10-8=2\end{cases}\\  \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=10-2\cdot \frac{1+\sqrt{17}}{2}=10-(1+\sqrt{17})=9-\sqrt{17}\end{cases}

ksiązki Odpowiedź

\begin{cases}a_1=4\\ b_1=2\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=9-\sqrt{17}\end{cases}

© medianauka.pl, 2011-02-13, ZAD-1155

Zadania podobne

kulkaZadanie 544 - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)


kulkaZadanie 616 - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm


kulkaZadanie 617 - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.


kulkaZadanie 618 - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie


kulkaZadanie 619 - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.


kulkaZadanie 620 - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.


kulkaZadanie 621 - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.


kulkaZadanie 622 - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.


kulkaZadanie 623 - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.


kulkaZadanie 624 - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.


kulkaZadanie 625 - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?


kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12


kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014



Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.