Logo Serwisu Media Nauka


zadanie

Zadanie 769 - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

u=2x-\frac{\pi}{4}\\ \cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}
u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C
2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Stosujemy podstawienie:

u=2x-\frac{\pi}{4}\\ \cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Wiemy, że \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}

czyli:

-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}

Możemy napisać więc rozwiązanie ogólne równanie zmiennej u:

u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C

Wracamy do zmiennej x:

2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C

© Media Nauka, 2011-06-06


Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy