Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Treść zadania:
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
Rozwiązanie zadania
Współczynnik a trójmianu po lewej stronie nierówności jest dodatni, a więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Interesują nas wartości większe od zera. Możliwe są trzy przypadki:
Zauważamy, że pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania (zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych). Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty, gdyż w drugim przypadku rozwiązaniem jest zbiór \(R\setminus \lbrace x_0\rbrace\), a w trzecim przypadku przedział \((-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty)\), zatem nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań niniejszej nierówności jest zbiór pusty.
Pierwszy przypadek jest spełniony dla wyróżnika trójmianu kwadratowego mniejszego od zera.
\(\Delta< 0\)
\(a=1,\ b=m,\ c=-1+m\)
\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4(-1+m)=\)
\(=m^2+4-4m=m^2-4m+4\)
\(m^2-4m+4< 0\)
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\(m^2-2\cdot 2\cdot m+2^2< 0\)
\((m-2)^2< 0\)
Mamy więc jedno miejsce zerowe \(x_0=2\), ramiona paraboli są skierowane w górę ze względu na dodatni współczynnik a, z rysunku odczytujemy rozwiązanie:
Interesują nas wartości mniejsze od zera i widać z rysunku, że nie ma takich argumentów \(m\), dla których wartości trójmianu kwadratowego są ujemne.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-11, ZAD-595
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
