Suma szeregu geometrycznego

Twierdzenie

Szereg geometryczny jest zbieżny , gdy |q|<1 i ma sumę

$S=\frac{a_1}{1-q}$

natomiast jest rozbieżny, gdy $|q|\geq{1}$

Skąd wziął się powyższy wzór? Ogólny wyraz szeregu geometrycznego to $S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}}$ Zatem suma szeregu geometrycznego to granica:
$S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}(a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q})=\lim_{n\to\infty}[\frac{a_1}{1-q}\cdot (1-q^n)]=\\=\lim_{n\to\infty}(\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}q^n)=\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}\cdot{\lim_{n\to\infty}(q^n)}=\frac{a_1}{1-q}-0=\frac{a_1}{1-q}$
Założyliśmy tutaj, że |q|<1, gdyż tylko wtedy $\lim_{n\to\infty}q^n=0$ W przeciwnym przypadku granica ta jest nieskończona (niewłaściwa) i suma szeregu również jest nieskończona.

Przykład

Zamienić liczbę 0,(7) na ułamek zwykły.

Zauważamy, że:
0,(7)=0,777...=0,7+0,07+0,007+0,0007+...=0,7+0,7∙0,1+0,7∙(0,1)²+0,7∙(0,1)³+...
Otrzymaliśmy więc szereg geometryczny o ilorazie q=0,1 i a₁=0,7. Zatem sumując wszystkie wyrazy szeregu otrzymujemy:
$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,7}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{9}$

Ciekawostki

Dzięki wiedzy na temat szeregu geometrycznego możemy obliczać pola powierzchni nieskończonej liczby figur, długości nieskończonej liczby odcinków, objętości nieskończonej liczby brył, jeżeli spełnione są tylko pewne warunki. Czasem okazuje się, że wartości te wcale nie są nieskończone!
Oto taki przykład.

Przykład

W środku koła o promieniu r rysujemy koło o promieniu o połowę krótszym. W środku tego małego koła rysujemy koło również o promieniu o połowę krótszym i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich kół.
koła współśrodkowe - przykłąd sumy szeregi geometrycznego Na podstawie warunków zadania sporządzamy rysunek. Mamy do czynienia z nieskończoną liczbą kół, a naszym zadaniem jest obliczyć pole wszystkich tych figur.
Wypiszmy pola poszczególnych figur:
$p_1=\pi{r^2}\\p_2=\pi{(\frac{r}{2})^2}=\pi{r^2}\cdot{\frac{1}{4}}\\p_3=\pi{(\frac{r}{4})^2}=\pi{r^2}\cdot{(\frac{1}{4})^2}\\p_4=\pi(\frac{r}{8})^2=\pi{r^2}\cdot(\frac{1}{4})^3\\...\\p_n=\pi{r^2}\cdot(\frac{1}{4})^{(n-1)}$

Zatem pole wszystkich kół jest równe
Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, wartość $a_1=\pi{r^2}$ , iloraz $q=\frac{1}{4}$ , a więc spełniony jest warunek zbieżności szeregu geometrycznego. Możemy obliczyć sumę, a więc pole wszystkich figur:
$P=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\pi{r^2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}\pi{r^2}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.