Suma szeregu geometrycznego
Twierdzenie
Szereg geometryczny jest zbieżny , gdy |q|<1 i ma sumę

natomiast jest rozbieżny, gdy
Skąd wziął się powyższy wzór? Ogólny wyraz szeregu geometrycznego to Zatem suma szeregu geometrycznego to granica:
Założyliśmy tutaj, że |q|<1, gdyż tylko wtedy W przeciwnym przypadku granica ta jest nieskończona (niewłaściwa) i suma szeregu również jest nieskończona.
Przykład
Zamienić liczbę 0,(7) na ułamek zwykły.
Zauważamy, że:
0,(7)=0,777...=0,7+0,07+0,007+0,0007+...=0,7+0,7∙0,1+0,7∙(0,1)2+0,7∙(0,1)3+...
Otrzymaliśmy więc szereg geometryczny o ilorazie q=0,1 i a1 =0,7. Zatem sumując wszystkie wyrazy szeregu otrzymujemy:
Ciekawostki
Dzięki wiedzy na temat szeregu geometrycznego możemy obliczać pola powierzchni nieskończonej liczby figur, długości nieskończonej liczby odcinków, objętości nieskończonej liczby brył, jeżeli spełnione są tylko pewne warunki. Czasem okazuje się, że wartości te wcale nie są nieskończone!
Oto taki przykład. Przykład
W środku koła o promieniu r rysujemy koło o promieniu o połowę krótszym. W środku tego małego koła rysujemy koło również o promieniu o połowę krótszym i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich kół.Na podstawie warunków zadania sporządzamy rysunek. Mamy do czynienia z nieskończoną liczbą kół, a naszym zadaniem jest obliczyć pole wszystkich tych figur.
Wypiszmy pola poszczególnych figur:
Zatem pole wszystkich kół jest równe
Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, wartość , iloraz
, a więc spełniony jest warunek zbieżności szeregu geometrycznego. Możemy obliczyć sumę, a więc pole wszystkich figur:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.Zadanie nr 2.
Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.Zadanie nr 5.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?Zadanie nr 10.
Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-09-06, ART-315