Logo Serwisu Media Nauka


Współrzędne wektora


WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA

To miary wektorów składowych.

WERSOR

To wektor jednostkowy; wektor o długości jednostkowej, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem prostej, na której leży.

teoria Dana jest prosta, na której zaznaczono dwa punkty: O i A. Zwrot prostej jest od O do A. Jeżeli przyjmiemy, że odcinek OA jest jednostką długości (OA=1), to wektor \vec{OA} nazywać będziemy wersorem (wektorem jednostkowym). Wersory układu kartezjańskiego zwykło się oznaczać przez \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}.

wersor wersory w układzie współrzędnym

Teoria Miarą wektora \vec{a} na osi OX nazywać będziemy liczbę ax równą długości tego wektora wziętej ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem osi OX, natomiast ze znakiem "minus", jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu osi OX.

Przykład Przykład


wektory - ilustracja

W powyższym przykładzie miarą wektora \vec{a} jest liczba -3, natomiast miarą wektora \vec{b} jest liczba 2.

Współrzędne wektora zdefiniujemy jako miary wszystkich wektorów składowych. Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach kwadratowych.

Przykład Przykład

miara wektora - ilustracja

W powyższym przykładzie \vec{a}=[4,1], gdyż miarą składowej \vec{a_x} jest liczba 4, natomiast miarą składowej \vec{a_y} jest liczba 1.

Przykład Przykład

wektory w układzie współrzędnym - przykłady

Wektory zilustrowane na powyższym rysunku mają następujące współrzędne:

\vec{a}=[2,3]\\ \vec{b}=[-1,-1]\\ \vec{c}=[2,-2]\\ \vec{d}=[2,1]

Twierdzenie Twierdzenie

Jeśli wektor \vec{a}=\vec{AB} leży na osi OX, to zachodzi równość: a_x=x_B-x_A

rysunek

Przykład Przykład

Punkt A ma współrzędną -2, punkt B ma współrzędną 2. Jaka jest współrzędna wektora \vec{a}=\vec{AB}?

Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy: a_x=x_B-x_A=2-(-2)=4

Twierdzenie Twierdzenie

Dowolny wektor na płaszczyźnie można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora:

\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}

Twierdzenie Twierdzenie

Dowolny wektor w przestrzeni można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora:

\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}

Przykład Przykład

Wektor \vec{a}=[-2,1,8] można przedstawić jako \vec{a}=-2\vec{i}+\vec{j}+8\vec{k}

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli wektor \vec{a}=\vec{AB} leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:

a_x=x_B-x_A\\ a_y=y_B-y_A

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku i końca.

Przykład Przykład

Dane są punkty A=(3,-1) oraz B=(-2,4). Wyznaczyć współrzędne wektora \vec{a}=\vec{AB}

Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy:

a_x=x_B-x_A=-2-3=-5\\ a_y=y_B-y_A=4-(-1)=5

Mamy więc: \vec{a}=[-5,5]

Zilustrujemy to jeszcze rysunkiem.

ilustracja

symulacjaSymulacja

Poniższa symulacja pozwala obserwować jak zmieniają się współrzędne wektora w zależności od jego położenia w układzie współrzędnych.

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

© Media Nauka, 2008-04-23, ART-22



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 662 - współrzędne wektora
Dane są punkty A=(3,-5), B=(1,5), C=(-3,2). Znaleźć współrzędne wektorów \vec{AB}, \ \vec{BA},\ \vec{AC},\ \vec{CB}.

zadanie - ikonka Zadanie 663 - wektor w układzie współrzędnych
Zaznaczyć w układzie współrzędnych wektory zaczepione w punkcie A=(1,1), określone następująco:
\vec{a}=[1,3]\\ \vec{b}=[-1,2]\\ \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}\\ \vec{d}=\vec{i}-\vec{j}\\ \vec{e}=5\vec{i}\\ \vec{f}=-\vec{j}

zadanie - ikonka Zadanie 664 - współrzędne wektora
Znaleźć współrzędne punktu B, jeżeli wiadomo, że A=(2,2) i
a)\ \vec{AB}=[-2,-3]\\ b)\ \vec{AB}=2\vec{i}+4\vec{j}

zadanie - ikonka Zadanie 665 - współrzędne wektora
Dany jest prostokąt ABCD, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(5,3), D=(1,3). Znaleźć współrzędne wektorów \vec{AD}, \ \vec{CA},\ \vec{BD}, \ \vec{CD}.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy