Logo Serwisu Media Nauka


Funkcja liniowa

Definicja Definicja

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

y=ax+b,\quad{x}\in{R}

Litery a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:

a - jest to współczynnik kierunkowy prostej,
b - jest to wyraz wolny.

Przykład Przykład

Oto kilka przykładów funkcji liniowych:

1) y=5x+1,
współczynnik kierunkowy prostej a=5, wyraz wolny b=1.

2) y=16x,
współczynnik kierunkowy prostej a=16, wyraz wolny b=0.

3) y=-x+2,
współczynnik kierunkowy prostej a=-1, wyraz wolny b=2.

1) y=1,
współczynnik kierunkowy prostej a=0, wyraz wolny b=1.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Przeciwdziedziną funkcji liniowej jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych R dla a różnego od 0 (mamy tu do czynienia z funkcja pierwszego stopnia),
b) zbiór jednoelementowy {b} (gdzie b to wyraz wolny) dla a=0 (mamy tu do czynienia z funkcją stałą).

Monotoniczność funkcji liniowej

1) Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie jeżeli a>0.
2) Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie jeżeli a<0.
3) Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie jeżeli a=0.

Teoria Dowód

Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.

Wybieramy dwa dowolne argumenty x1, x2 takie, że x1<x2 , czyli: x1 - x2 < 0
Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:

f(x1)=ax1+b
f(x2)=ax2+b

Obliczamy różnicę wartości funkcji

f(x1)-f(x2)= ax1+b-(ax2+b)=ax1+b-ax2-b
f(x1)-f(x2)= ax1-ax2=a(x1-x2)

Z założenia wynika, że x1 - x2 < 0, więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy a>0 i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).

Mamy tutaj więc f(x1)-f(x2)= a(x1-x2) <0 , zatem f(x1)<f(x2)

Natomiast gdy a<0 mamy:
f(x1)-f(x2)= a(x1-x2)>0
(iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem f(x1)>f(x2) i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).

(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe gdy a≠0, równe x_0=-\frac{b}{a},
nie posiada miejsc zerowych gdy a=0 i b≠0 oraz posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych dla a=0 i b=0.


© Media Nauka, 2009-05-28, ART-221



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 287 - miejsce zerowe funkcji liniowej
Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} z osią OX.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dana jest funkcja liniowa f(x)=\frac{3}{4}x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. 8
B. 6
C. -6
D. -8

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 9, matura 2015 (poziom podstawowy)
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m-1)x+3 leży punkt S=(5,-2). Zatem :

A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom podstawowy)
Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=-3x+4. Stąd wynika, że

A. b=4
B. b=-3/2
C. b=-8/3
D. b=4/3



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy