Jednokładność

Definicja Definicja

Jednokładnością o środku O i skali k\neq 0 jest to przekształcenie płaszczyzny, które dowolnemu punktowi A przyporządkowuje taki punkt A', że \overline{OA'}=k\cdot \overline{OA}.

Przykład Przykład

Poniższy rysunek przedstawia jednokładność figury f w skali k=1/2.

Jednokładność

Teoria Cechy jednokładności o środku O:

  • jednokładność o skali k=1 jest przekształceniem tożsamościowym (to znaczy, że obrazem figury w takim przekształceniu jest ta sama figura),
  • jednokładność o skali k=-1 jest symetrią środkową,
  • przekształcenie odwrotne do jednokładności o skali k jest jednokładność o skali 1/k,
  • złożenie dwóch jednokładności o skalach k1, k2 jest jednokładnością o skali k1k2, to oznacza, że złożenie jednokładności nie zależy od kolejności przekształceń,
  • jednokładność nie jest przekształceniem izometrycznym (jest izometrią tylko w przypadku, gdy k=1 lub k=-1),
  • obrazem wektora \overline{OA'}=k\cdot \overline{OA} w jednokładności o skali k jest wektor równy wektorowi k\vec{w},
  • jednokładność zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów,
  • jednokładność zachowuje równoległość prostych,
  • jednokładność przekształca kąt w kąt przystający do danego kąta i kąt skierowany w równy mu kąt skierowany,
  • jednokładność zachowuje stosunek odcinków,
  • obrazem środka odcinka w jednokładności jest środek odcinka,
  • obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg.

Jednokładność - ujęcie analityczne

Teoria W jednokładności o środku O (początek układu współrzędnych)i różnej od zera skali k obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=kx \\ y'=ky

oraz

x=\frac{1}{k}x' \\ y=\frac{1}{k}y'

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w jednokładności o skali x=\frac{1}{k}x' \\ y=\frac{1}{k}y'.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu otrzymujemy:

y=x^2+1\\ \frac{1}{\frac{1}{3}}y'=[\frac{1}{\frac{1}{3}}x']^2+1\\ 3y'=(3x')^2+1\\ 3y'=9x'^2+1/:3 \\ y'=3x'^2+\frac{1}{3}

© Media Nauka, 2010-12-04, ART-1039



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 719 - jednokładność
Znaleźć obraz kwadratu w jednokładności o środku w jednym z wierzchołków tego kwadratu i skali k=2.

zadanie - ikonka Zadanie 720 - jednokładność
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w jednokładności o środku w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta i skali k=-\frac{1}{2}.

zadanie - ikonka Zadanie 721 - jednokładność
Znaleźć obraz odcinka \overline{AB}, gdzie A=(-1,2), B=(-2,-3) w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali k=3. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

zadanie - ikonka Zadanie 722 - jednokładność
Znaleźć obraz krzywej y=x^2 w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali k=\frac{1}{2}. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.