Aksjomaty stereometrii

Stereometria jest geometrią przestrzeni, którą stanowi zbiór wszystkich punktów. Przestrzeń oznaczamy grecką literą omega - Ω. Dowolny inny zbiór punktów, taki jak prosta, płaszczyzna, odcinek itd. stanowi podzbiór przestrzeni.

Poniżej przedstawiamy aksjomaty dotyczące stereometrii:

Aksjomat XI o przestrzeni

W przestrzeni istnieje co najmniej jedna płaszczyzna, żadna płaszczyzna nie wypełnia całej przestrzeni, inaczej mówiąc: dla każdej płaszczyzny istnieje w przestrzeni co najmniej jeden punkt, który nie należy do tej płaszczyzny.

Aksjomat XII o płaszczyznach mających punkt wspólny

Jeżeli dwie płaszczyzny mają punkt wspólny, to mają co najmniej jeszcze jeden punkt wspólny.

Aksjomat XIII o części wspólnej dwóch płaszczyzn

Jeżeli dwie różne płaszczyzny mają punkt wspólny, to ich częścią wspólną jest prosta.

(patrz ilustracja obok)

Aksjomat XIV o płaszczyźnie przechodzącej przez trzy punkty

Przez każde trzy punkty przechodzi co najmniej jedna płaszczyzna (punkty nie muszą być różne).

Wniosek z aksjomatów XIII i XIV - Przez trzy punkty niewspółliniowe przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna

Aksjomat XV

Każda płaszczyzna w przestrzeni ma wszystkie własności przyjęte z planimetrii (geometrii płaszczyzny).

Aksjomat XVI o odległości punktów w przestrzeni

Jeśli dwa punkty leżą na jednej płaszczyźnie i te same dwa punkty leżą na drugiej płaszczyźnie, to odległość między tymi punktami jest na każdej z tych płaszczyzn taka sama.

Inne wnioski z powyższych aksjomatów:

Dwie proste przecinające się wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Prosta i punkt, który nie należy do tej prostej wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Bryła

Bryła jest to figura geometryczna, która jest ograniczona, domknięta, spójna, w każdym otoczeniu każdego punktu znajduje się co najmniej jeden punkt wewnętrzny.

Kąt dwuścienny i wielościenny

Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie różne półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi i jedną z dwóch figur wyciętych w przestrzeni przez te półpłaszczyzny.

Proste prostopadłe w przestrzeni

Proste w przestrzeni są prostopadłe, jeżeli dowolny wektor niezerowy zawarty w jednej prostej i dowolny wektor niezerowy w drugiej prostej tworzą kąt prosty.

Objętość

Objętość figury jest to funkcja, która każdej figurze z pewnego zbioru figur przyporządkowuje liczbę nieujemną V(f), którą nazywamy objętością figury f.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.