Zadanie - dziedzna funkcji wymiernej

Treść zadania:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z funkcją wymierną, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z pominięciem pierwiastków wielomianu, który znajduje się w mianowniku ułamka. Zatem:

\(W(x)=6x^3-5x^2-2x+1\neq 0\)

Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu. Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

\(W(1)=6\cdot 1^3-5\cdot 1^2-2\cdot 1+1=6-5-2+1=0\)

\(W(-1)=-6-5+2+1=-8\neq 0\)

Znaleźliśmy jeden pierwiastek. Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian \(W(x)\) przez \((x-1)\), ale możemy też skorzystać z twierdzenia, według którego w przypadku, gdy współczynnik przy \(x\) w najwyższej potędze jest różny od jedności (a jest równy 6), możemy typować także ułamki pośród pierwiastków wielomianu.

Podzielniki wyrazu wolnego: \(1,-1\).

Podzielniki wyrazu przy \(x^3: 1,-1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\).

Wszystkie ułamki, wśród których może się znaleźć pierwiastek wielomianu \(W(x): \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\) (Dzielimy podzielniki wyrazu wolnego przez podzielniki wyrazu \(a_n\))

\(W(\frac{1}{2})=6\cdot (\frac{1}{2})^3-5\cdot (\frac{1}{2})^2-2\cdot \frac{1}{2}+1=\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}-1+1=\)

(\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\neq 0\)

\(W(-\frac{1}{2})=6\cdot (-\frac{1}{2})^3-5\cdot (-\frac{1}{2})^2-2\cdot (-\frac{1}{2})+1=\)

\(=-\ ^3\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{8}_4}-5\cdot \frac{1}{4}+1+1=-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}+2=-\frac{8}{4}+2=-2+2=0\)

\(W(\frac{1}{3})=6\cdot (\frac{1}{3})^3-5\cdot (\frac{1}{3})^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\ ^2\cancel{6}\cdot \frac{1}{\cancel{27}_9}-5\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\)

\(=\frac{2}{9}-\frac{5}{9}-\frac{6}{9}+1=-1+1=0\)

Znaleźliśmy dwa kolejne pierwiastki: \(-\frac{1}{2} i \frac{1}{3}. Ponieważ wielomian jest trzeciego stopnia, to może mieć co najwyżej trzy pierwiastki. Znaleźliśmy więc już wszystkie pierwiastki, które nie wchodzą do dziedziny analizowanej funkcji.

ksiązki Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace -\frac{1}{2},\frac{1}{3},1 \rbrace\)

© medianauka.pl, 2010-01-21, ZAD-532

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.