Logo Serwisu Media Nauka


Zastosowanie iloczynu skalarnego

Teoria Iloczyn skalarny ma zastosowanie w matematyce i fizyce. Tutaj skupimy się na zastosowaniu iloczynu skalarnego wektorów w geometrii

Prostopadłość wektorów

Prostopadłość wektorów

Twierdzenie Twierdzenie

Jeśli dwa niezerowe wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.

Twierdzenie Twierdzenie

Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zeru, to co najmniej jeden z nich jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe

Równoległość wektorów

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli dwa niezerowe wektory są równoległe, to wyznacznik tych wektorów jest równy zeru:

\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x=0

Twierdzenie Twierdzenie

Jeśli wyznacznik dwóch wektorów jest równy zeru, to albo co najmniej jeden z tych wektorów jest wektorem zerowym albo wektory są równoległe.

Przykład Przykład

Sprawdzimy, czy wektory \vec{a}=[1,3] i \vec{b}=[-2,-6] są równoległe. w tym celu obliczamy wyznacznik wektorów:

\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&3\\-2&-6 \end{vmatrix}=1\cdot (-6)-3\cdot(-2)=-6+6=0

Ponieważ wyznacznik wektorów niezerowych jest równy zero, wektory te są równoległe.

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Twierdzenie Twierdzenie

Pole P równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.

W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=|W|

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|

Przykład Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=|-7|=7


© Media Nauka, 2010-12-12, ART-1053



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 620 - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

zadanie - ikonka Zadanie 691 - zastosowanie iloczynu skalarnego
Czy trójkąt wyznaczony przez wektory \vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1] jest trójkątem prostokątnym?

zadanie - ikonka Zadanie 692 - zastosowanie iloczynu skalarnego
Zbadać, czy wektory \vec{a}=[12,24],\ \vec{b}=[-3,-6] są równoległe.

zadanie - ikonka Zadanie 693 - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory \vec{a}=[2,-3],\ \vec{b}=[5,3m] są równoległe.

zadanie - ikonka Zadanie 694 - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory \vec{a}=[m,3],\ \vec{b}=[4,-2m+1] są prostopadłe?

zadanie - ikonka Zadanie 621 - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

zadanie - ikonka Zadanie 656 - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

zadanie - ikonka Zadanie 653 - równoległobok
Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy