Zadania maturalne 2019 - matematyka, poziom podstawowy - rozwiązania
Poniżej znajduje się pełna lista zadań z matematyki na poziomie podstawowym, które znalazły się na egzaminie maturalnym w 2019 roku. Kliknij na wybrane zadanie, aby zobaczyć jego rozwiązanie.
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
2.
Dany jest punkt A = (−18,10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
3.
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = −4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2 ,a3, a4, a5, a6, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której ak = −78.
4.
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.
5.
Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 1/3
B. 1/√3
C. 3
D. √3
6.
Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy
A. cosα=5/4
B. cosα=1/5
C. cosα=9/25
D. cosα=3/5
7.
Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.
A. α=30°
B. α<30°
C. α>45°
D. α=45°
8.
Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS
(zobacz rysunek) jest równy
A. √5/2
B. 2√5/5
C. 1/2
D. 1
9.
Rozwiąż równanie x3−5x2−9x+45=0.
10.
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A. 12
B. 36
C. 162
D. 243
11.
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
A. 1/8
B. 1/5
C. 1/40
D. 1/35
12.
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem
A. a=7
B. a=12
C. a=14
D. a=20
13.
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

14.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
15.
Rozwiąż nierówność 3x2−16x+16>0.
16.
Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy
A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=5
17.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).
Wtedy
A. |OK|=6
B. |OK|=8
C. |OK|=10
D. |OK|=12
18.
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
A. 8
B. 12
C. 8√3
D. 16
19.
Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=− 4x+1 i przechodzi
przez punkt P=(1/2,0), gdy
A. a=-4 i b=-2
B. a=1/4 i b=-1/8
C. a=-4 i b=2
D. a=1/4 i b=1/2
20.
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2).
Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres
funkcji g określonej wzorem
A. g(x)=x+4
B. g(x)=x-4
C. g(x)=-x-4
D. g(x)=-x+4
21.
Dane są punkty o współrzędnych A=(−2, 5) oraz B=(4, −1) . Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku AB jest równa
A. 12
B. 6
C. 6√2
D. 2√6
22.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2 − 2ab + 3b2 ≥ 0 .
23.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta SAC jest równa
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
24.
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49.
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
25.
Liczba log√22 jest równa
A. 2
B. 4
C. √2
D. 1/2
26.
Liczba naturalna n=214·515 w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
27.
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
A. 1%
B. 25%
C. 33%
D. 75%
28.
Równość 1/4+1/5+1/a=1 jest prawdziwa dla
A. a=11/20
B. a=8/9
C. a=9/8
D. a=20/11
29.
Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań
dla:
A. a=-1
B. a=1
C. a=-2
D. a=2
30.
Równanie (x-1)(x+2)/(x-3)=0
A. ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2.
B. ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2.
C. ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2.
D. ma dwa różne rozwiązania: x=-1, x=2.
31.
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=3(x+1)−6√3 jest liczba
A. 3−6√3
B. 1−6√3
C. 2√3-1
D. 2√3-1/3
32.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,− 4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 33: Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A. (-∞;0⟩
B. ⟨0;4⟩
C. ⟨-4;+∞)
D. ⟨4;+∞)
Zadanie 34: Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1;4⟩ jest równa
A. -3
B. -4
C. 4
D. 0
Zadanie 35: Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
A. x=-4
B. x=-4
C. y=2
D. x=2
© medianauka.pl, 2023-02-12, ART-4699