Zadania — matura 2019, matematyka, poziom podstawowy

Zadania maturalne z roku 2019 z matematyki - poziom podstawowy. Są to zadania z arkuszy egzaminacyjnych wraz z rozwiązaniami.


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 - maturalne.

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 - maturalne.

Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 - maturalne.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 - maturalne.

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 - maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C. \(3\)

D. \(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 - maturalne.

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy

A. \(\cos{\alpha}=\frac{5}{6}\)

B. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{5}\)

C. \(\cos{\alpha}=\frac{9}{25}\)

D. \(\cos{\alpha}=\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 - maturalne.

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

rysunek

A. \(\alpha=30°\)

B. \(\alpha<30°\)

C. \(\alpha>45°\)

D. \(\alpha=45°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 - maturalne.

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy połowie wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

Rysunek

A. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

B. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 - maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 - maturalne.

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest

A. 12

B. 36

C. 162

D. 243

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 - maturalne.

W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

A. \(\frac{1}{8}\)

B. \(\frac{1}{5}\)

C. \(\frac{1}{40}\)

D. \(\frac{1}{35}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 - maturalne.

Mediana zestawu sześciu danych liczb \(4, 8, 21, a, 16, 25\) jest równa \(14\). Zatem

A. \(a=7\)

B. \(a=12\)

C. \(a=14\)

D. \(a=20\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 - maturalne.

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 - maturalne.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 - maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2−16x+16>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 - maturalne.

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(m=1\)

D. \(m=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 - maturalne.

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Rysunek

Wtedy

A. \(|OK|=6\)

B. \(|OK|=8\)

C. \(|OK|=10\)

D. \(|OK|=12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 - maturalne.

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe

A. 8

B. 12

C. \(8\sqrt{3}\)

D. 16

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 - maturalne.

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy

A. \(a=-4\) i \(b=-2\)

B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)

C. \(a=-4\) i \(b=2\)

D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 20 - maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\).

Wykres

Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem

A. \(g(x)=x+4\)

B. \(g(x)=x-4\)

C. \(g(x)=-x-4\)

D. \(g(x)=-x+4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 21 - maturalne.

Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

A. \(12\)

B. \(6\)

C. \(6\sqrt{2}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 22 - maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2−2ab+3b^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 23 - maturalne.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

rysunek

Miara kąta SAC jest równa

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 24 - maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 25 - maturalne.

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}2\) jest równa

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(\sqrt{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 26 - maturalne.

Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma

A. 14 cyfr

B. 15 cyfr

C. 16 cyfr

D. 30 cyfr

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 27 - maturalne.

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

A. 1%

B. 25%

C. 33%

D. 75%

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 28 - maturalne.

Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla

A. \(a=\frac{11}{20}\)

B. \(a=\frac{8}{9}\)

C. \(a=\frac{9}{8}\)

D. \(a=\frac{20}{11}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 29 - maturalne.

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)

dla:

A. \(a=-1\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-2\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 30 - maturalne.

Równanie \((x-1)(x+2)/(x-3)=0\)

A. ma trzy różne rozwiązania: \(x=1, x=3, x=-2\).

B. ma trzy różne rozwiązania: \(x=-1, x=-3, x=2\).

C. ma dwa różne rozwiązania: \(x=1, x=-2\).

D. ma dwa różne rozwiązania: \(x=-1, x=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 31 - maturalne.

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3(x+1)−6\sdqrt{3}\) jest liczba

A. \(3−6\sqrt{3}\)

B. \(1−6\sqrt{3}\)

C. \(2\sqrt{3}-1\)

D. \(2\sqrt{3}-\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 32 - maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

wykres

Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. \((-\infty ,0\rangle \)

B. \(\langle 0, 4\rangle \)

C. \(\langle -4, +\infty)\)

D. \(\langle 4, +\infty)\)

Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa

A. \(-3\)

B. \(-4\)

C. \(4\)

D. \(0\)

Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

A. \(x=-4\)

B. \(x=-4\)

C. \(y=2\)

D. \(x=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 32.

Oznaczenia

zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom podstawowy. zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom rozszerzony.

Zbiór zadań z matematyki
Zbiór wszystkich zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami.
AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.
arkusze maturalne CKE z matematyki
ARKUSZE CKE

Źródło: Centralna Komisja Egzaminacyjna

 



©® Media Nauka 2008-2023 r.