logo
Szukaj w serwisie:
 
 

Szkicowanie wykresów funkcji

Naszkicowanie wykresu funkcji poprzez sporządzenie tabelki zmienności funkcji sprawdza się tylko w przypadku niektórych funkcji. Zwykle do naszkicowania wykresu funkcji konieczne jest zbadanie przebiegu tej funkcji. Aby zbadać funkcję warto:

Wyniki powyższych badań wpisujemy do tabelki i na jej podstawie szkicujemy wykres funkcji.

Badanie zmienności funkcji jest trudne ze względu na szeroki zakres wiedzy, jaki się tutaj wykorzystuje. Wyżej podano linki do artykułów/tematów, których poznanie jest niezbędne przy analizowaniu przebiegu zmienności funkcji.

Najlepiej zobaczyć to na przykładzie:

Przykład

Zbadać przebieg zmienności i narysować szkic wykresu funkcji f(x)=\fra{4x}{x+1}+x^2

1) Określamy dziedzinę funkcji:

Mamy do czynienia z ułamkiem. Wiemy, że mianownik nie może być równy zero.

x+1\neq{0}\\x\neq{-1}\\Df:R\backslash \lbrace -1\rbrace

Znajdujemy miejsca zerowe funkcji:

f(x)=0\\ \frac{4x}{x+1}+x^2=0\\ \frac{4x}{x+1}+\frac{x^2(x+1)}{x+1}=0\\ \frac{4x+x^3+x^2}{x+1}=0

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru:

4x+x^3+x^2=\\x(x^2+x+4)=0

czynnik w nawiasie to trójmian kwadratowy, obliczamy wyróżnik kwadratowy:

a=1,\ b=1,\ c=4\\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0

Ponieważ wyróżnik trójmianu jest ujemny, więc trójmian nie rozkłada się już na czynniki (nie ma miejsc zerowych). Mamy jedno miejsce zerowe: x=0.

Obliczamy granice i wyznaczamy asymptoty

Zapisaliśmy wyżej, że:

f(x)=\frac{4x}{x+1}+x^2=\frac{x^3+x^2+4x}{x+1}

Ułatwi nam to obliczenie niektórych granic. Obliczamy najpierw granicę lewostronną i prawostronną w punkcie x=-1, który nie należy do dziedziny funkcji:

\lim_{x\to -1^+}{\frac{x^3+x^2+4x}{x+1}}=[\frac{-4}{0+}]=-\infty \\ \lim_{x\to -1^-}{\frac{x^3+x^2+4x}{x+1}}=[\frac{-4}{0-}]=+\infty

Mamy więc do czynienia z asymptotą pionową:

x=-1

Obliczamy granice w plus i minus nieskończoności:

\lim_{x\to \pm \infty}{(\frac{4x}{x+1}+x^2)}=+\infty

Wykres nie posiada więc asymptoty poziomej.

Szukamy asymptoty ukośnej. W tym celu obliczamy granicę:

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim_{x\to +\infty}{(\frac{4x}{x^2+x}+x)}=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim_{x\to -\infty}{(\frac{4x}{x^2+x}+x)}=-\infty

Funkcja nie posiada więc asymptoty pochyłej.

Badamy monotoniczność funkcji

Wykorzystujemy wiedzę na temat zastosowaniu pochodnej funkcji przy wyznaczaniu przedziałów monotoniczności. Obliczamy pochodną funkcji:

f'(x)=(\frac{4x}{x+1}+x^2)'=(\frac{4x}{x+1})'+(x^2)'=\frac{4\cdot (x+1)-4x\cdot 1}{(x+1)^2}+2x=\\ =\frac{4x+4-4x}{(x+1)^2}+\frac{2x(x+1)^2}{(x+1)^2}=\frac{4+2x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}=\frac{4+2x^3+4x^2+2x}{(x+1)^2}=\frac{2x^3+4x^2+2x+4}{(x+1)^2}

Badamy kiedy pochodna funkcji jest dodatnia. Mamy do czynienia z ułamkiem o dodatnim mianowniku (jest tam kwadrat liczby). Zatem licznik też musi być dodatni. Mamy więc warunek:

2x^3+4x^2+2x+4>0/:2 \\ x^3+2x^2+x+2>0

Rozkładamy wielomian na czynniki. Szukamy pierwiastka wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego: -1,1,-2,2. Ponieważ mamy do czynienia z sumą jednomianów, należy podejrzewać, że pierwiastek jest ujemny:

W(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2+(-1)+2=-1+2-1+2=2\neq 0\\ W(-2)=(-2)^3+2\cdot(-2)^2+(-2)+2=-8+8-2+2=0

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu, dzielimy go więc przez dwumian x-(-2)=x+2

(x^3+2x^2+x+2):(x+2)=x^2+1\\ \underline{x^3+2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x+2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Mamy więc:

(x+2)(x^2+1)>0

Drugi nawias zawiera dwumian, który nie rozkłada się już na czynniki (policz wyróżnik trójmianu kwadratowego).
Czynnik w drugim nawiasie jest zawsze dodatni, więc skoro cały iloczyn ma być dodatni, to czynnik (x+2) też musi być dodatni:

x+2>0\\ x>-2

Zatem dla x>-2 funkcja jest rosnąca.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie możemy stwierdzić, że funkcja jest malejąca, gdy x<-2.

Szukamy ekstremum funkcji

Funkcja może posiadać maksimum lub minimum w punktach, w których pochodna jest równa zeru. Pochodną wyznaczyliśmy wcześniej:

\frac{2x^3+4x^2+2x+4}{(x+1)^2}=0\\2x^3+4x^2+2x+4=0

Ostatni krok w rachunkach wynika z tego, iż aby ułamek był równy zero, jego licznik musi być zerem. Mamy do czynienia z wielomianem, który już rozkładaliśmy wcześniej na czynniki:

(x+2)(x^2+1)=0\\x+2=0\\x=-2

Czy w punkcie x=-2 funkcja osiąga ekstremum, a jeśli tak to jakie, przekonamy się po sporządzeniu tabelki zmienności funkcji, gdzie będzie widać jak pochodna zmienia znak przy przejściu przez ten punkt.

Inne cechy funkcji

Mamy punkt zerowy funkcji, ale warto też znaleźć wartość funkcji w ekstremum (o ile jest):

f(-2)=\frac{4\cdot{}(-2)}{-2+1}+(-2)^2=\frac{-8}{-1}+4=12

Możemy zbadać parzystość funkcji:

f(-x)=\frac{4\cdot{}(-x)}{-x+1}+(-x)^2=\frac{-4x}{-x+1}+x^2\neq f(x)

Funkcja nie jest parzysta.

Sprawdzamy nieparzystość funkcji:

-f(x)=-\frac{4x}{x+1}-x^2=\neq f(x)

Funkcja nie jest nieparzysta.

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji.

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x=-2 przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum, (w punkcie x=-1 wykres nie przechodzi w "dolinę" ani "grzbiet", w tym punkcie funkcja wcale nie jest określa).


(-∞-2)-2(-2;-1)-1(-1;+∞)
f'(x)-0++
f(x)\searrow12
minimum
\nearrow\nearrow

Cała trudność w sporządzeniu wykresu polega teraz na zapamiętaniu wszystkich wyników badań funkcji i wykorzystaniu ich przy szkicowaniu. Zobaczmy jak to może wyglądać na podstawie powyższych danych na przykładzie animacji:

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

© Media Nauka, 2010-10-03, ART00258/947


spis treści
Zadania
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.



Zadanie 508 - badanie przebiegu zmienności funkcji
Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=x^3+x^2-5x+3 i naszkicować jej wykres.

Zadanie 509 - badanie przebiegu zmienności funkcji
Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^2-1}{x-4} i naszkicować jej wykres.

Zadanie 510 - badanie przebiegu zmienności funkcji
Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x} i naszkicować jej wykres.

Zadanie 511 - przebieg zmienności funkcji
Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^3+1}{x^2} i naszkicować jej wykres.



Bibliografia
Zgłoś błąd




Menu Matematyka
Słownik matematyczny

Zadania
Testy i quizy
Tablice
Narzędzia

www.e-pomoce.pl - banner
Pozostało...
227 dni do matury 2015
Pozostało...
214 dni do egzaminu gimnazjalnego 2015
Pozostało...
194 dni do sprawdzianu szóstoklasistów 2015

Zamieść link tekstowy do niniejszego artykułu na swojej stronie.