zadanie

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy dwie sytuacje. Cyfrę jeden inaczej traktujemy niż 2 i 3. Najpierw zajmiemy się jedynką.

Wiemy, że występuje tylko trzy razy w dziesięciocyfrowej liczbie. Można założyć, że dla jedynki losujemy ze zbioru miejsc cyfr w liczbie {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} trzy różne miejsca. Tworzymy więc 3-elementowe zbiory trójek miejsc, których kolejność nie ma znaczenia (bo czy wylosowano trójkę {1,2,3}, czy {3,2,1} to będzie to oznaczało, że jedynki są na 1,2 i 3 miejscu w tej liczbie). Natomiast nie mogą występować powtórzenia miejsc w liczbie (jedynka nie może trzy razy wystepowac na drugim miejscu). Zatem na ile sposobów można rozdzielić miejsca w cyfrze dla jedynki? Na tyle ile jest kombinacji trójelementowych, zbioru 10-cioelementowego.

C^{3}_{10}={10n \choose 3}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{7!\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot7!}=120


Zostały nam trójki i dwójki. Tu podchodzimy nieco inaczej do zagadnienia. Losujemy ze zbioru dwuelementowego {2,3} siedem razy (bo tyle miejsc nam pozostało w liczbie dziesięciocyfrowej i tworzymy ciągi siedmioelementowe, których elementy mogą się powtarzać, a ich kolejność ma znaczenie. Taki schemat opisuje wariację z powtórzeniami. Mamy więc

W_{2}^7=2^7=128

Łączymy teraz ze sobą oba losowania. Liczbę takich przypadków uzyskamy mnożąc jeden wynik przez drugi.

ksiązki Odpowiedź

Liczb, o których mowa w treści zadania jest 120·128=15360

© CKE, 2016-11-11

Zadania podobne

kulkaZadanie 110 - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?

kulkaZadanie 111 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

kulkaZadanie 112 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

kulkaZadanie 113 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

kulkaZadanie 114 - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

kulkaZadanie 115 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

kulkaZadanie 116 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

kulkaZadanie 117 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

kulkaZadanie 118 - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

kulkaZadanie 119 - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

kulkaZadanie 120 - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: C_{x+2}^{2}=1

kulkaZadanie 121 - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

kulkaZadanie 122 - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

kulkaZadanie 123 - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

kulkaZadanie 126 - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?