Obliczanie granic ciągów

• \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (\frac{5}{n}-2)=\lim_{n\to\infty} 5\cdot \frac{1}{n}-\lim_{n\to\infty}2=5\cdot 0 - 2=-2\)
• \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0\cdot 0=0\)
  

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2-5n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{5n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}=\)

\(=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} (1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}+\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+1}{n^2-n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\)

\(=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty} (3+\frac{1}{n^2})}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2})}=\frac{3+0}{1-0+0}=3\)

Obliczyć granicę ciągu z pierwiastkiem \(a_n=\sqrt{n^2+1}+n\).

Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu.

Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej \(M\) prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od \(M\).

Zakładamy więc, że \(M\) jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości \(n_0\) zachodzi \(\sqrt{n^2+1}+n>M\).

Zauważamy, że \(\sqrt{n^2+1}\approx{\sqrt{n^2}=n}\) i:

\(n+n>M\)

\(2n>M/:2\)

\(n>\frac{M}{2}\)

Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) począwszy od \(n_0\)-tego wyrazu ciągu (\(n_0>\frac{M}{2}\)) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby \(M\).

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}+n)=+\infty\)

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{30}{2n+7}=0\).

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu \((a_n)\) przy \(n\) dążącym do nieskończoności, jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba \(n_0\), że dla każdego \(n>n_0\) spełniona jest nierówność \(|a_n-0|<\varepsilon\), czyli \(|\frac{30}{2n+7}|<\varepsilon\).

Ponieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:

\(\frac{30}{2n+7}<\varepsilon\)

Rozwiązujemy nierówność

\(\frac{30}{2n+7}-\varepsilon<0\)

\(\frac{30-\varepsilon(2n+7)}{2n+7}<0\)

Powyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest ujemny.

\(30-\varepsilon (2n+7)<0\)

\(\varepsilon(2n+7)>30\)

\(2n\varepsilon{>}30-7\varepsilon\)

\(n>\frac{30-7\varepsilon}{2\varepsilon}\)

Istnieje więc takie \(n_0\), równe na przykład \(n_0=[\frac{30-7\varepsilon}{2\varepsilon}]+1\), (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od\(n_0\) prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ciągu.

• \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|2^n|=\lim_{n\to\infty}2^n=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0\)
• \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|n^4|=\lim_{n\to\infty}n^4=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}=0\)

\(\frac{1}{3n+(-1)^n}>0\quad i \quad \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+(-1)^n}=0\)

\( \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}[3n+(-1)^n]=+\infty\)

Wiedząc, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1\), gdzie \(c\) jest dowolną liczbą naturalną, obliczymy granicę:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{5^n+10^n}\)

Możemy zapisać, że:

\(\sqrt[n]{10^n}\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}} \leq{\sqrt[n]{10^n+10^n}}\)

\(10\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}} \leq{10}\sqrt[n]{2}\)

Mamy więc spełniony warunek \(a_n\leq{b_n}\leq{c_n}\).

Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}10= \lim_{n\to\infty}10\sqrt[n]{2}=10\).

Zatem na podstawie powyższego twierdzenia \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}=10\).