Logo Serwisu Media Nauka


Ciąg arytmetyczny

Definicja Definicja

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

a_{n+1}-a_n=r

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Mówiąc prościej, jeżeli różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, to mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykład Przykład

Przykład ciąguRóżnica ciągu arytmetycznego
(1,2,3,4,...)r=1
(0,-1,-2,-3,...)r=-1
(5,10,15,20,25)r=5
(-1,\sqrt{2}, \ 1+2\sqrt{2}, \ 2+3\sqrt{2}, \ ...)r=1+\sqrt{2}

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg a_n=n(1+sqrt{3})-1 jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
a_{n+1}=(n+1)(1+\sqrt{3})-1=n+n\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}
Obliczamy różnicę
a_{n+1}-a_n=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}-n(1+\sqrt{3})-1=\sqrt{3}-1=const=r
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama - ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg a_n=\frac{1}{n} jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}
Obliczamy różnicę
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}\neq const
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem arytmetycznym.

Teoria Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0 i jest malejący gdy r<0.


© Media Nauka, 2009-08-24, ART-305



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 104 - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy