Zadania — matura 2018, matematyka, poziom podstawowy
Zadania maturalne z roku 2018 z matematyki - poziom podstawowy. Są to zadania z arkuszy egzaminacyjnych wraz z rozwiązaniami.
Zadanie nr 1 - maturalne.
<p>Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:</p> <ol type="A"> <li>\(4\)</li> <li>\(2\)</li> <li>\(2\log_3{2}\)</li> <li>\(\log_3{8}\)</li> </ol>Zadanie nr 2 - maturalne.
<p>Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa:</p> <ol type="A"> <li>\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)</li> <li>\(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)</li> <li>\(\frac{3}{2}\)</li> <li>\(\frac{9}{4}\)</li> </ol>Zadanie nr 3 - maturalne.
<p>Dane są liczby \(a=3,6⋅10^{-12}\) oraz \(b=2,4⋅10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:</p> <ol type="A"> <li>\(8,64⋅10^{−32}\)</li> <li>\(1,5⋅10^{−8}\)</li> <li>\(1,5⋅10^{8}\)</li> <li>\(8,64⋅10^{32}\)</li> </ol>Zadanie nr 4 - maturalne.
<p>Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował</p> <ol type="A"> <li>865,00 zł<sup></sup></li> <li>850,15 zł</li> <li>1000,00 zł</li> <li>977,50 zł</li> </ol>Zadanie nr 5 - maturalne.
<p>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{(1-2x)}{2}>\frac{1}{3}\) jest przedział:</p> <ol type="A"> <li>\((-\infty;\frac{1}{6})\)</li> <li>\((-\infty;\frac{2}{3})\)</li> <li>\((\frac{1}{6};+\infty)\)</li> <li>\((\frac{2}{3};+\infty)\)</li> </ol>Zadanie nr 6 - maturalne.
<p>Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1, x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem</p> <ol type="A"> <li>\(x_1+x_2=-8\)</li> <li>\(x_1+x_2=-2\)</li> <li>\(x_1+x_2=2\)</li> <li>\(x_1+x_2=8\)</li> </ol>Zadanie nr 7 - maturalne.
<p>Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\) ma:</p> <p>A. ma trzy rozwiązania \(x=-2, x=0, x=2\)</p> <p>B. ma dwa rozwiązania \(x=0, x=2\)</p> <p>C. ma dwa rozwiązania \(x=-2, x=2\)</p> <p>D. ma jedno rozwiązanie \(x=0\)</p>Zadanie nr 8 - maturalne.
<p>Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.</p> <ol type="A"> <li>Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,\frac{1}{3})\).</li> <li>Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).</li> <li>Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,\frac{1}{3})\).</li> <li>Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).</li> </ol>Zadanie nr 9 - maturalne.
<p>Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych </p> <ol type="A"> <li>\((-6,-3)\)</li> <li>\((-6,69)\)</li> <li>\((3,-12)\)</li> <li>\((6,-3)\)</li> </ol>Zadanie nr 10 - maturalne.
<p>Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,−2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy</p> <ol type="A"> <li>\(1\)</li> <li>\(\frac{3}{2}\)</li> <li>\(-\frac{3}{2}\)</li> <li>\(-1\)</li> </ol>Zadanie nr 11 - maturalne.
<p>Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest</p> <p>A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).</p> <p>B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).</p> <p>C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).</p> <p>D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).</p>Zadanie nr 12 - maturalne.
<p>Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy</p> <p>A. \(a_5=4\)</p> <p>B. \(a_5=3\)</p> <p>C. \(a_5=6\)</p> <p>D. \(a_5=5\)</p>Zadanie nr 13 - maturalne.
<p>Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać</p> <p>A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)</p> <p>B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)</p> <p>C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)</p> <p>D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)</p>Zadanie nr 14 - maturalne.
<p>Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek).</p> <p><img src="matematyka/wzory/zad4596/01.jpg" class="skaluj" alt="rysunek"></p> <p>Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek</p> <ol type="A"> <li>27°<α≤30°</li> <li>24°<α≤27°</li> <li>21°<α≤24°</li> <li>18°<α≤21°</li> </ol>Zadanie nr 15 - maturalne.
<p>Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:</p> <p>A. \(10, 15, 20\)</p> <p>B. \(20, 45, 80\)</p> <p>C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)</p> <p>D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)</p>Zadanie nr 16 - maturalne.
<p>Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K, L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\), spełniają warunek \(\alpha +\beta=111°\). Wynika stąd, że</p> <p><img src="matematyka/grafika/zadania/0009.jpg" class="skaluj" alt="Rysunek"></p> <p>A. \(\alpha=74°\)</p> <p>B. \(\alpha=76°\)</p> <p>C. \(\alpha=70°\)</p> <p>D. \(\alpha=72°\)</p>Zadanie nr 17 - maturalne.
<p>Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(KL=a, MN=b,<br> a>b\). Kąt \(KLM\) ma miarę 60°. Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa:</p> <p><img src="matematyka/grafika/zadania/0010.jpg" class="skaluj" alt="Rysunek"></p> <p>A. \(a-b\)</p> <p>B. \(2(a-b)\)</p> <p>C. \(a+\frac{b}{2}\)</p> <p>D. \((a+b)/2\)</p>Zadanie nr 18 - maturalne.
<p>Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać</p> <p>A. \(x^2+y^2=200\)</p> <p>B. \(x^2+y^2=100\)</p> <p>C. \(x^2+y^2=400\)</p> <p>D. \(x^2+y^2=300\)</p>Zadanie nr 19 - maturalne.
<p>Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m−1)x−3\) są równoległe, gdy</p> <p>A. \(m=2\)</p> <p>B. \(m=3\)</p> <p>C. \(m=0\)</p> <p>D. \(m=1\)</p>Zadanie nr 20 - maturalne.
<p>Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).</p> <p><img src="matematyka/grafika/zadania/0012.jpg" class="skaluj" alt="rysunek"></p> <p>Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek</p> <ol type="A"> <li>\(\alpha=45°\)</li> <li>\(45°<\alpha <60°\)</li> <li>\(\alpha >60°\)</li> <li>\(\alpha =60°\)</li> </ol>Zadanie nr 21 - maturalne.
<p>Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).</p><p><img src="matematyka/grafika/zadania/0014.jpg" class="skaluj" alt="rysunek"></p> <p>Wysokość graniastosłupa jest równa</p> <ol type="A"> <li>\(5\)</li> <li>\(3\sqrt{2}\)</li> <li>\(5\sqrt{2}\)</li> <li>\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)</li> </ol>Zadanie nr 22 - maturalne.
<p>Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.</p> <p><img src="matematyka/grafika/zadania/0015.jpg" class="skaluj" alt="rysunek"></p> <p>Objętość tej bryły jest równa</p> <p>A. \(\frac{5}{3\pi r^3}\)</p> <p>B. \(\frac{4}{3\pi r^3}\)</p> <p>C. \(\frac{2}{3\pi r^3}\)</p> <p>D. \(\frac{1}{3\pi r^3}\)</p>Zadanie nr 23 - maturalne.
<p>W zestawie \(2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4\) liczb jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)) , w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe <p>A. \(2\) <p>B. \(1\) <p>C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) <p>D. \(\sqrt{2}\)</p>Zadanie nr 24 - maturalne.
<p>Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?</p> <ol type="A"> <li>402</li> <li>403</li> <li>203</li> <li>204</li> </ol>Zadanie nr 25 - maturalne.
<p>W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe</p> <ol type="A"> <li>\(\frac{15}{35}\)</li> <li>\(\frac{1}{50}\)</li> <li>\(\frac{15}{30}\)</li> <li>\(\frac{35}{50}\)</li> </ol>Zadanie nr 28 - maturalne.
<p>Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.</p> <p>\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)</p>Zadanie nr 29 - maturalne.
<p>Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy 2.</p> <p><img src="matematyka/grafika/zadania/0016.jpg" class="skaluj" alt="rysunek"></p> <p>Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).</p>Zadanie nr 30 - maturalne.
<p>Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz <em>a</em> i zapisz zbiór wartości funkcji <em>g</em>, określonej wzorem \(g(x)=f(x)−2\).</p>Zadanie nr 31 - maturalne.
<p>Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.</p>Zadanie nr 32 - maturalne.
<p>W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.</p>Zadanie nr 33 - maturalne.
<p>Dane są dwa zbiory: \(A = \lbrace 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\rbrace \) i \(B = \lbrace 10,11,12,13,14,15,16\rbrace \). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.</p>Zadanie nr 34 - maturalne.
<p>Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.</p> <p><img src="matematyka/grafika/zadania/0019.jpg" class="skaluj" alt="rysunek"></p>Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 34.
Oznaczenia
Zadania maturalne — poziom podstawowy.
Zadania maturalne — poziom rozszerzony.
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
ARKUSZE CKE
Źródło: Centralna Komisja Egzaminacyjna