Różniczkowalność a ciągłość funkcji

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Teoria Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym dla istnienia pochodnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym. Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe, to znaczy, że jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x0, to nie znaczy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to nie ma w tym punkcie pochodnej.

To, czy funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie można poznać także na podstawie jej wykresu. Funkcja nie jest różniczkowalna w punktach, w których wykres tworzy "ostrza". Na poniższej ilustracji pokazano wykresy funkcji, które nie są różniczkowalne w punkcie x0.

różniczkowalność a ciągłość funkcji

Przykładem funkcji, która w punkcie x0 jest ciągła, a nie jest różniczkowalna (nie ma pochodnej w tym punkcie) jest funkcja f(x)=|x|.

© Media Nauka, 2010-09-05, ART00246/891



Zadania

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 466 - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=|x| w punkcie x0=0