Obliczanie pochodnych

W poprzednim artykule omówiliśmy pojęcie pochodnej w punkcie, jej interpretację geometryczną. Pora zająć się metodami wyznaczania pochodnej. Najpierw jednak określimy pochodną jako funkcję.

Pochodna jako funkcja

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału, to określona jest w tym przedziale funkcja $x\to y=f'(x)$ .

Mówiąc inaczej, jeżeli każdemu punktowi z dziedziny funkcji f(x) przyporządkujemy pochodną w tym punkcie (o ile istnieje), to określimy w ten sposób funkcję, którą nazywamy pochodną funkcji f(x) i oznaczamy przez f '(x).

Przykład

Dla przykładu obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1.

$f(x)=2x+1\\f(x+h)=2(x+h)+1=2x+2h+1\\f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2x+2h+1-(2x+1)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h}{h}}=2$

Jak widać sposób postępowania przy obliczaniu pochodnej funkcji jest analogiczny do obliczania pochodnej funkcji w punkcie.

Pochodne funkcji elementarnych

W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnych podstawowych funkcji. Nauczenie się ich na pamięć jest bardzo ważne w sprawnym posługiwaniu się rachunkiem pochodnych.

Tablica pochodnych
Poniższa tablica prezentuje podstawowe pochodne. Wzory te są bardzo często wykorzystywane w matematyce i fizyce. Warto się ich nauczyć na pamięć.

Funkcja	Pochodna	Uwagi
c	0	$x\in R$
	$nx^{n-1}$	$x\in R, \ gdy \ n\in N\\ x\in R_+, \ gdy \ n\in W$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x\in R_+$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$x\neq 0$
$\sin{x}$	$\cos{x}$	$x\in R$
$\cos{x}$	$-\sin{x}$	$x\in R$
	$\frac{1}{\cos^2{x}}$	$\cos{x}\neq 0$
	$-\frac{1}{\sin^2{x}}$	$\sin{x}\neq 0$
	$a^x\cdot \ln{a}$	$a\in R_+$

$\ln{x}$	$\frac{1}{x}$
$\log_{a}{x}$	$\frac{1}{x\ln{a}$	$x>0, \ a>0, \ a\neq 1$
$\arcsin{x}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos{x}$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
	$\frac{1}{1+x^2}$
	$\frac{-1}{1+x^2}$

Przykład

Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.

$y=5,\ y'=0\\f(x)=x^2\ f'(x)=2x^{2-1}=2x^1=2x\\f(x)=x=x^1,\ f'(x)=1\cdot x^{1-1}=x^0=1\\y=x^{10},\ y'=10x^9$

W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnej sumy, różnicy iloczynu i ilorazu funkcji.

Nazwa	WZÓR
pochodna sumy
pochodna różnicy
pochodna iloczynu	$[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
pochodna ilorazu	$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
mnożenie przez stałą	$[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$

Przykłady

Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.

1) Pochodna sumy i różnicy funkcji.

$f(x)=5x+2\\f'(x)=(5x)'+(2)'=5+0=5\\g(x)=x^2-\frac{1}{x}\\g'(x)=(x^2)'-(\frac{1}{x})'=2x-(-\frac{1}{x^2})=2x+\frac{1}{x^2}$

2) Pochodna iloczynu funkcji.

$f(x)=5x\sqrt{x}\\f'(x)=(5x)'\cdot \sqrt{x}+5x\cdot (\sqrt{x})'=5\sqrt{x}+5x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3) Pochodna ilorazu funkcji.

$f(x)=\frac{x+1}{x^2}\\f'(x)=\frac{(x+1)'\cdot x^2-(x+1)\cdot (x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}=\frac{x^2-2x^2-2x}{x^4}=\\=\frac{-x^2-2x}{x^4}=\frac{x(-x-2)}{x^4}=\frac{-x-2}{x^3}$

4) Pochodna iloczynu funkcji i stałej.

$f(x)=5x^9\\f'(x)=5\cdot(x^9)'=5\cdot 9x^8=45x^8$

Przykład

Poniższa animacja pokazuje jeszcze raz krok po kroku, jak obliczamy pochodną ilorazu funkcji.

Animacja

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Obliczanie pochodnych

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$