Obliczanie pochodnych
W poprzednim artykule omówiliśmy pojęcie pochodnej w punkcie, jej interpretację geometryczną. Pora zająć się metodami wyznaczania pochodnej. Najpierw jednak określimy pochodną jako funkcję.
Pochodna jako funkcja
Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału, to określona jest w tym przedziale funkcja
.
Mówiąc inaczej, jeżeli każdemu punktowi z dziedziny funkcji f(x) przyporządkujemy pochodną w tym punkcie (o ile istnieje), to określimy w ten sposób funkcję, którą nazywamy pochodną funkcji f(x) i oznaczamy przez f '(x).
Przykład
Dla przykładu obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1.
Jak widać sposób postępowania przy obliczaniu pochodnej funkcji jest analogiczny do obliczania pochodnej funkcji w punkcie.
Pochodne funkcji elementarnych
W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnych podstawowych funkcji. Nauczenie się ich na pamięć jest bardzo ważne w sprawnym posługiwaniu się rachunkiem pochodnych.

Tablica pochodnych
Poniższa tablica prezentuje podstawowe pochodne. Wzory te są bardzo często wykorzystywane w matematyce i fizyce. Warto się ich nauczyć na pamięć.
Funkcja | Pochodna | Uwagi |
---|---|---|
c | 0 | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() |
Przykład
Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.
W poniższej tabeli zostały zawarte podstawowe wzory na obliczenie pochodnej sumy, różnicy iloczynu i ilorazu funkcji.
Nazwa | WZÓR |
---|---|
pochodna sumy | ![]() |
pochodna różnicy | ![]() |
pochodna iloczynu | ![]() |
pochodna ilorazu | ![]() |
mnożenie przez stałą | ![]() |
Przykłady
Dla przykładu obliczymy na podstawie powyższych wzorów kilka pochodnych.
1) Pochodna sumy i różnicy funkcji.
2) Pochodna iloczynu funkcji.
3) Pochodna ilorazu funkcji.
4) Pochodna iloczynu funkcji i stałej.
Przykład
Poniższa animacja pokazuje jeszcze raz krok po kroku, jak obliczamy pochodną ilorazu funkcji.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 7 — maturalne.
Funkcja
A.

B.

C.

D.

Inne zagadnienia z tej lekcji
Pochodna funkcji złożonej

Złożenie funkcji - omówienie zagadnienia wraz z animacją prezentującą przykład obliczania pochodnej funkcji złożonej.
Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Jeżeli funkcja f'(x) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem f''(x)
© medianauka.pl, 2010-09-07, ART-893