Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Definicja

Jeżeli funkcja \(f'(x)\) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem:

\(f''(x)=(f'(x))'\)

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, obliczamy najpierw jej pochodną, a potem obliczamy pochodną otrzymanego wyniku.

W analogiczny sposób określamy pochodne wyższych rzędów. Oznaczamy je kolejno za pomocą liczb rzymskich:

\(f^{II},f^{III},f^{IV},f^{V},...\)

lub za pomocą liczb arabskich, ujmując je w nawiasy: \(f^{(2)},f^{(3)},f^{(4)},f^{(5)},...\)

Obliczmy pochodną piątego rzędu funkcji \(f(x)=x^{10}\).

\(f'(x)=10x^9\)

\(f^{II}(x)=90x^8\)

\(f^{III}(x)=720x^7\)

\(f^{IV}(x)=5040x^6\)

\(f^{V}(x)=30240x^5\)

Zadanie nr 1.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sqrt{x}\)

b) \(f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}\)

Zadanie nr 2.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\cos^2{2x}\)

b) \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

Zadanie nr 3.

Dla jakiej wartości argumentu \(x\) druga pochodna funkcji \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) jest równa \(\frac{1}{4}\)?

Zadanie nr 4.

Rozwiąż równanie \(y''+y'=0\), gdzie \(y=x^3+1\).