Zadania z działu Funkcje

zadania ikona

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Funkcje". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.

1. Dana jest funkcja: $f(x)=\frac{x-3}{x^2+4}+x-1$
Obliczyć:
a) f(1),
b) f(0),
c) f(-2),
d) f(1/2).

2. Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

A.
B.
C.
D.

3. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
zadanie maturalne 2015, zadanie 8

Zbiorem wartości funkcji f jest
A. (-2,2)
B. <-2,2)
C. <-2,2>
D. (-2,2>

4. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x²+x+c. Jeżeli f(3)=4, to :

A. f(1)=-6
B. f(1)=0
C. f(1)=6
D. f(1)=18

5. Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y=-2^x-2 , należy punkt:

A. A=(1,-2)
B. B=(2,-1)
C. C=(1,1/2)
D. D=(4,4)

6. Wyznaczyć dziedzinę funkcji
a) $f(x)=\sqrt{x^2-3x}$
b) $f(x)=log_{x-1}{x+1}$

7. Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{3}x+2$

8. Sporządzić wykres funkcj:
$f(x)=\begin{cases} -x \ dla \ x<2 \\ x-1 \ dla \ x\geq 2\end{cases}$

9. Wyznaczyć miejsce zerowe funkcji:
a)
b)
c)

10. Wyznaczyć wzór funkcji funkcji, której wykresem jest prosta przechodząca przez punkt A(1,5) i która ma jedno miejsce zerowe x₀=5.

11. Dana jest funkcja liniowa $f(x)=\frac{3}{4}x+6$ . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. 8
B. 6
C. -6
D. -8

12. Wykazać na podstawie definicji, że funkcja $f(x)=\frac{x}{2}-3$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

13. Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

14. Wykazać na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca dla x>0.

15. Znaleźć okres podstawowy funkcji
a)y=sin2x
b) y=sinπx

16. Znaleźć okres podstawowy funkcji y=cos4x

17. Znaleźć okres podstawowy funkcji y=tg4x

18. Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\frac{1}{2}tg{(\frac{\pi}{2}x)}$ .

19. Znaleźć okres podstawowy funkcji:
a) $y=3ctg{\frac{x}{\pi}}$
b) $y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}$

20. Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos2x+2\sin^2x$

21. Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos^4x-\sin^4x$ .

22. Sprawdzić,czy funkcja
a)
b)
jest parzysta.

23. Sprawdzić,czy funkcja
a) $f(x)=\frac{x-5}{4}$
b)
jest nieparzysta.

24. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=2x-5

25. Dane są funkcje:
a) $f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1$
b) $f(x)=3x+1\\ g(x)=logx$
c) $f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx$
Znaleźć złożenie funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)$

26. Dane są funkcje:
a) $f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2$
c) $f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
Znaleźć złożenie tych funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)$

27. Sporządzić wykres funkcji $y=(\frac{1}{2})^{x-5}$

28. Sporządzić wykres funkcji $y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1$

29. Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1$

30. Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{2}{4x}$

31. Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

32. Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

33. Sporządzić wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$

34. Sporządzić wykres funkcji:
$y=\frac{-4x+7}{2x-2}$

35. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
rysunek do zadania 29, matura 2014
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

36. Sporządzić wykres funkcji
a) $y+2=\frac{1}{x+3}$
b) $y=2+\cos{(x+1)}$
wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.

37. Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$ z osią OX.

38. Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m-1)x+3 leży punkt S=(5,-2). Zatem :

A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2

39. Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=-3x+4. Stąd wynika, że

A. b=4
B. b=-3/2
C. b=-8/3
D. b=4/3

40. Funkcja liniowa jest malejąca, gdy :

A. m∈{-2,2}
B. m∈(-2,2)
C. m∈{-∞,2}
D. m∈{2,+∞}

41. O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to:

A. f(x)=-1/3x+7/3
B. f(x)=-1/2x+2
C. f(x)=-3x+7
D. f(x)=-2x+4

42. Naszkicować wykres funkcji $y=-\sqrt{2}x+1$

43. Naszkicować wykres funkcji $y=-5x+\frac{1}{2}$ , określić jej monotoniczność oraz znaleźć miejsce zerowe.

44. W układzie współrzędnych są dane punkty A =(-43,-12) , B = (50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

45. Średnio tygodniowo autor pewnego bloga zarabia na wyświetlaniu reklam na swojej stronie 20 zł. Jakiego zysku może się spodziewać po roku prowadzenia strony?

46. Babcia w ciągu godziny potrafi wydziergać 20 cm szalika. Ile czasu potrwa wydzierganie całego szalika o długości półtora metra?

47. Sekretarka potrafi napisać średnio 50 słów w ciągu jednej minuty na komputerze. Jak długo potrwa ręczne przepisanie książki o objętości 240 stron, jeżeli wiadomo, że średnio jedna strona maszynopisu zawiera 250 słów, a sekretarka jest jednego dnia w stanie pisać bez przerwy przez 5 godzin?

48. Śnieg padał jednostajnie przez 6,5 h. Spadło 19,5 cm śniegu. Ile śniegu spadło w ciągu jednej godziny?

49. Jeden pracownik składa 500 długopisów w ciągu ośmiu godzin pracy. Ilu pracowników trzeba zatrudnić, aby wykonać zlecenie złożenia 10 000 długopisów w ciągu pięciu dni?

50. Wykres ilustruje zależność zaoszczędzonych środków na lokacie od czasu oszczędzania.

Ile pieniędzy zaoszczędzono po 3 latach oszczędzania?

51. Podczas ostatniego tankowania kierowca wyzerował licznik, przejechał 654 kilometry i zatankował do pełna. Do baku zmieściło się 34,5 l benzyny. Ile litrów na sto kilometrów spala silnik tego samochodu?

52. Dana jest prosta o równaniu . Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

53. Dana jest prosta o równaniu $y=5x+\frac{1}{5}$ . Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

54. Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

55. Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

56. Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

57. Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

58. Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

59. Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. $m=-2-2\sqrt{2}$
D. $m=-2+2\sqrt{2}$

60. Proste o równaniach: y=2mx-m²-1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

61. Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

62. Sporządzić wykres funkcji .

63. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
ilustracja do zadania nr 10 matura 2016
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

64. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x²-6x+3 w przedziale <0,4>.

65. Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f . Oblicz $\frac{f(6)}{f(12)}$ .

66. Sprowadzić do postaci kanonicznej funkcję f(x)=2x²+2x+1.

67. Wykres funkcji przesunięto o wektor $\vec{u}=[-5,5]$ . Jakie jest równanie paraboli, powstałej w wyniku przesunięcia?

68. Przedstawić funkcję
a) f(x)=-x+7x-12
b) f(x)=2x²+44x+242
w postaci iloczynowej.

69. Zapisać wzór funkcji kwadratowej, która ma dwa miejsca zerowe x₁=-1 oraz x₂=5, wiedząc że parabola przecina oś OY w punkcie (0,15).

70. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
zadanie 7, matura 2014
Funkcja f jest określona wzorem
A. $f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$
B. $f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$
C. $f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$
D. $f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$

71. Pierwiastki x₁, x₂ równania 2(x+2)(x-2)=0 spełniają warunek:

A. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$
B. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0$
C. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}$

72. Sporządzić wykres funkcji

73. Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu jest punkt A(2,1)?

74. Sporządzić wykres funkcji .

75. Sporządzić wykres funkcji .

76. Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu .

77. Sporządzić wykres funkcji
$f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}$

78. Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

79. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

A. 2
B. 5
C. 8
D. 9

80. Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x²+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.

81. Dany jest wielomian: . Obliczyć $A(-1), \ A(2),\ A(\sqrt{2}), A(-\sqrt[3]{2})$

82. Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

83. Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu jest liczba 1?

84. Dane są wielomiany:
$A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7 \\ B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8$
Znaleźć sumę wielomianów A(x)+B(x) oraz różnicę A(x)-B(x).

85. Dla jakich wartości parametrów a, b i c suma wielomianów
$A(x)=ax^3+(b-1)x^2+x-c^2-2c+1 \\ B(x)=(a-2)x^3-(2b+1)x^2-x+c^2+c-1$
jest równa jednomianowi zerowemu?

86. Wielomian W(x) dla $x_1=-5, \ x_2=5$ ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

87. Wykonać mnożenie:
a)
b) i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.

88. Dla jakiej wartości parametru a wielomian dzieli się bez reszty przez x-1?

89. Wykonać dzielenie:
a)
b)
c) $(x^{10}-1):(x^2+1)$
d) $(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})$
e) $(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})$

90. Wielomian jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego:

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4

91. Rozłożyć wielomian:
a)
b)
c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2$
d)
na czynniki.

92. Rozłożyć wielomian:
a)
b)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.

93. Rozłożyć wielomian na czynniki.

94. Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

95. Dany jest wielomian . Określić stopień wielomianu oraz obliczyć wartości $W(1,-1), W(\sqrt{2},\sqrt{3})$

96. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}$

97. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}$

98. Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x|}$

99. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór $D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)$ .
ilustracja do zadania maturalnego 3
Równanie |f(x)|=p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie
A. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=3
B. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=2
C. tylko wtedy, gdy p=3
D. tylko wtedy, gdy p=2

100. Wykazać, że ciąg $a_n=(\sqrt{2})^n$ jest ciągiem geometrycznym.

101. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

102. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}$

103. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}$

Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:103.

© Media Nauka 2008-2018 r.