Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadania z działu Geometria

zadania ikona

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Geometria". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.


1. Dane są punkty A=(3,-5), B=(1,5), C=(-3,2). Znaleźć współrzędne wektorów \vec{AB}, \ \vec{BA},\ \vec{AC},\ \vec{CB}.

2. Zaznaczyć w układzie współrzędnych wektory zaczepione w punkcie A=(1,1), określone następująco:
\vec{a}=[1,3]\\ \vec{b}=[-1,2]\\ \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}\\ \vec{d}=\vec{i}-\vec{j}\\ \vec{e}=5\vec{i}\\ \vec{f}=-\vec{j}


3. Znaleźć współrzędne punktu B, jeżeli wiadomo, że A=(2,2) i
a)\ \vec{AB}=[-2,-3]\\ b)\ \vec{AB}=2\vec{i}+4\vec{j}


4. Dany jest prostokąt ABCD, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(5,3), D=(1,3). Znaleźć współrzędne wektorów \vec{AD}, \ \vec{CA},\ \vec{BD}, \ \vec{CD}.

5. Oblicz długość wektora:
a) \ \vec{a}=[-3,4]\\ b) \ \vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}\\ c) \ \vec{c}=-\vec{j}\\ d)\ \vec{0}\\ e)\ \vec{AB}, \ A=(2,3), \ B=(-2,-3)


6. Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

7. Obliczyć długość wektora \vec{a}=[1,1,1].

8. Dany jest wektor \vec{a}=[3,4]. Przez jaką liczbę należy go pomnożyć, aby jego długość była równa 1?

9. Dany jest prostokąt ABCD. Zaznacz na rysunku wektory
\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AD}+\vec{BA},\\ \vec{c}=\vec{DC}+\vec{AB},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{CB}


10. Dany jest trapez równoramienny ABCD. Zaznacz na rysunku wektory
\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD},\\ \vec{c}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}


11. Dane są wektory \vec{a}, \ \vec{b} pokazane na poniższym rysunku. Znaleźć graficznie wektor \vec{c}, jeżeli wiadomo, że \vec{a}+\vec{c}=\vec{b}
Wektory


12. Znaleźć graficznie sumę wektorów \vec{a}=[-2,3], \ \vec{b}=[2,1],
a) metodą trójkąta
b) metodą równoległoboku.


13. Dany jest trapez równoramienny ABCD. Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor \vec{AD}+\vec{BC} (sumę wektorów wyznaczonych przez ramiona trapezu).

14. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor:
a) \vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AC}
b) \vec{CA}+\vec{BC}


15. Dany jest prostokąt ABCD. Znaleźć graficznie wektory
\vec{AB}+\vec{DC}, \ \vec{BC}+\vec{DA},\ \vec{DA}-\vec{BC}, \ \vec{CD}-\vec{BA}


16. Znaleźć graficznie różnicę wektorów \vec{a}=[2,-3], \ \vec{b}=[-2,-3]

17. Dane są wektory \vec{a}, \ \vec{b} pokazane na poniższym rysunku. Znaleźć graficznie wektor \vec{c} taki, że \vec{b}-\vec{c}=\vec{a}
Wektory


18. Dany jest trapez równoramienny ABCD. Znaleźć graficznie wektory:
\vec{a}=\vec{AB}-\vec{BC}, \ \vec{b}=\vec{AB}-\vec{CD}, \ \vec{c}=\vec{BC}-\vec{AD}


19. Dany jest prostokąt ABCD. Znaleźć graficznie wektor \vec{AB}-\vec{AD}-\vec{CA}-\vec{DC}

20. Dane są wektory \vec{a}=[-2,3], \ \vec{b}=[3,-3], \vec{c}=[2,4]. Znaleźć:
\vec{a}+\vec{b},\ -\vec{a}+\vec{c},\ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\ \vec{b}-\vec{a},\ \vec{c}-\vec{a}+\vec{b},\ 5\vec{a}-3\vec{b}


21. Dane są wektory \vec{a}=-5\vec{i}+6\vec{j}, \ \vec{b}=3\vec{i}-4\vec{j}, \ \vec{c}=\vec{i}-4\vec{j}.
Oblicz \vec{a}+\vec{b}, \ \vec{c}+\vec{b},\ \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}


22. Dany jest wektor \vec{a}=[2,4].Jakie współrzędne ma wektor \vec{b}, jeżeli wiadomo, że \vec{a}-\vec{b}=[7,7]?

23. Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

24. Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

25. Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5


26. Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

27. Dane są punkty A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1). Obliczyć odległość |AB|.

28. Sprawdzić, czy punkty A, B, C są współliniowe (kolinearne), jeżeli
a) |AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5
b) |AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}


29. Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

30. Punkty A, B, C są współliniowe i |AB|=7, |BC|=6. Jaką liczbą jest |AC|?

31. Dane są odcinki o długościach |AB|=5, |BC|=8. Jaką długość powinien mieć odcinek \overline{AC}, aby można było zbudować trójkąt ABC?

zadania maturalne 32. Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2


33. Dane są dwa punkty A, B. Opisz jaką figurą jest:
a)AB^{\rightarrow}\backslash \overline{AB} \\ b)\overline{AB} \backslash AB^{\rightarrow} \\ c)\overline{AB} \cap AB^{\rightarrow} \\ d)\overline{AB} \cup AB^{\rightarrow} \\ e)AB^{\rightarrow} \cap BA^{\rightarrow} \\ f)AB^{\rightarrow} \cup BA^{\rightarrow}


34. Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka wzór

35. Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że |\overline{AB}|=1 i który leży na prostej x=\frac{1}{2}

36. Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

37. Dany jest odcinek o końcach A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4). Znaleźć współrzędne środka odcinka \overline{AB}

38. Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)

39. Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)

zadania maturalne 40. W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2


zadania maturalne 41. Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

zadania maturalne 42. Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.


zadania maturalne 43. Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4


44. Dane są dowolne proste a i b. Określić figury:
a\cup b, \ a\cap b, \ a\backslash b, \ b\backslash a


45. Dany jest okrąg k i prosta p przechodząca przez środek okręgu. Opisać figury:
k\cup p, \ k\cap p, \ k\backslash p, \ p\backslash k


46. Dane są dwa trójkąty t1 i t2 usytuowane względem siebie tak, jak pokazuje rysunek.
gwiazda
Zakreskować figury:
a)t_1\cup t_2\\ b)t_1\cap t_2\\ c)t_1\backslash t_2\\ d)t_1\backslash t_2\\ e)(t_1\backslash t_2)\cup (t_2\backslash t_1)


47. Ile maksymalnie prostych może wyznaczyć 10 punktów na płaszczyźnie? A ile w przestrzeni?

48. Opisać za pomocą działań na zbiorach część zakreskowaną kół k1, k2, k3
figury


49. Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

50. Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.

51. Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Katy w okręgu


zadania maturalne 52. Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Zadanie maturalne - 2016
A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°


zadania maturalne 53. Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :

A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°


zadania maturalne 54. Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.


zadania maturalne 55. Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę:

A. 160°
B. 80°
C. 40°
D. 20°


56. Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162o. Ile boków ma ten wielokąt?

57. Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

58. Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

59. Znaleźć obraz trójkąta ABC na podstawę trójkąta AB w kierunku prostej wyznaczonej przez bok BC.

60. Znaleźć obraz okręgu i trapezu na prostą a w kierunku prostej k.
rzut na prosą - zadanie


61. Obrazem kwadratu w rzucie równoległym na prostą a jest jego przekątna. Znaleźć kierunek rzutowania.

62. Znaleźć obraz punktu P=(0,2) w rzucie równoległym na oś OX w kierunku prostej y=2x-3.

63. Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

64. Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

65. Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

66. Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

67. Znaleźć obraz krzywej y=3x2-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

68. Znaleźć obraz okręgu (x+2)2+(y-1)2=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

69. Znaleźć oś symetrii trójkąta ABC, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3).

zadania maturalne 70. Proste opisane równaniami y=\frac{2}{m-1}x+m-2 oraz y=mx+\frac{1}{m+1} są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2


71. Znaleźć obraz punktu P=(2,3) w rzucie prostokątnym na prostą y=-x+2.

72. Znaleźć obraz okręgu (x-2)2+(y-1)2=4 w rzucie prostokątnym na prostą y=x.

73. Znaleźć obraz kwadratu w rzucie prostokątnym na prostą przechodzącą przez środki dwóch sąsiadujących boków.

74. Skonstruować dwusieczną kąta przedstawionego na rysunku.

dwusieczna kąta


75. Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} i y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}.

zadania maturalne 76. Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach:, Q, R, S (zobacz rysunek)
rysunek do zanaia 9, matura 2015
Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.


77. Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)^2+(y-2)^2=4

78. Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

79. Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

80. Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}

81. Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.

82. Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.

zadania maturalne 83. ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A. a
B. b
C. c
D. d


84. Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

zadania maturalne 85. Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.
Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami
Wykaż, że |MN|=|AD|


86. Wyrazić w stopniach, minutach i sekundach kąt 23,255o.

87. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

88. Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

89. Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

90. W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

91. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

92. W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

93. W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

94. Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

zadania maturalne 95. Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

96. Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3).

97. Znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A=(2,0), B=(1,2), C=(-2,-1)

98. Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

99. Znaleźć obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli A=(-2,3), B=(5,3, C=(0,7).

100. Znaleźć obraz krzywej y=x3-x2 w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

zadania maturalne 101. Dane są punkty M = (-2,1) i N = (-1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. K'=(2,-3/2)
B. K'=(2,3/2)
C. K'=(3/2,2)
D. K'=(3/2,-2)


102. Długość jednej z podstaw trapezu jest dwa razy większa od długości drugiej podstawy. Długość środkowej równoległej do podstaw jest równa 3. Obliczyć długości podstaw tego trapezu.

103. W trapezie prostokątnym długość podstaw jest równa odpowiednio 3 i 6, a długość krótszego z ramion 2. Oblicz długość dłuższego ramienia trapezu.

zadania maturalne 104. Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x-4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.

A. y=1/2x+2
B. y=-2x+2
C. y=-1/2x+2
D. y=2x+2


zadania maturalne 105. Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60° i ramieniu długości 2\sqrt(3) jest równa :

A. \sqrt{3}
B. 3
C. 2\sqrt(3)
D. 2


106. Długości przekątnych rombu są równe 6 i 8. Oblicz długość boku tego rombu.

107. Długość jednego z boków prostokąta jest dwa razy większa od długości drugiego boku prostokąta. Przekątna prostokąta ma długość równą 3. Oblicz długości boków.

108. Obwód prostokąta jest równy 14, a jego pole jest równe 12. Obliczyć długości boków tego prostokąta.

109. Skonstruuj kwadrat, którego przekątna ma długość danego odcinka \overline{AB}

110. Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

111. W jakiej odległości znajdują się od siebie każde odpowiadające sobie wierzchołki dwóch kwadratów o wspólnym środku, jeżeli jeden z kwadratów ma pole dwa razy mniejsze od drugiego i bok większego kwadratu ma długość równą 20?

112. Znaleźć współrzędne wektorów -5\vec{a}, \ 3\vec{b}, jeżeli \vec{a}=[-3,4], \ \vec{b}=5\vec{i}-3\vec{j}

113. Dane są wektory \vec{a}=[3,-4], \ \vec{b}=[-15,20], wiadomo tez, że \vec{a}=k\vec{b}. Znaleźć liczbę k.

114. Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB|=6, |BC|=4, |AC|=5. Punkt M jest środkiem boku AC, punkt N - środkiem boku BC. Obliczyć obwód trapezu ABNM.

115. Znaleźć obraz kwadratu ABCD, gdzie A=(1,1), B=(2,3), C=(4,2), D=(3,0) w translacji o wektor \vec{w}=[-2,-1].

116. Znaleźć obraz krzywej y=-x^2+x-1 w translacji o wektor \vec{w}=[-2,1].

117. Obrazem punktu P=(7,-3) w translacji o wektor \vec{w} jest punkt P'=(-3,7). Znaleźć współrzędne wektora translacji.

118. Znaleźć obraz punktu P=(2,4) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 30o.

119. Znaleźć obraz krzywej y=x3 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 90o.

120. Znaleźć obraz prostej y=-2x+6 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 60o.

121. Znaleźć obraz wykresu funkcji y=|x| w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 45o.

122. Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

123. Pole sześciokąta foremnego jest równe \sqrt{3}. Obliczyć obwód tego sześciokąta.

124. Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

125. W okrąg o promieniu R=10 wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.

126. W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

127. Odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.

128. Punkty A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1) wyznaczają odcinek \overline{AB}. Znaleźć jego środek.

129. Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10

130. Podstawy trapezu mają długości 8 i 10, a ramiona 7 i 11. Obliczyć obwód trójkąta utworzonego z podstawy trapezu i przedłużenia ramion tego trapezu.

131. Prosta równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie D oraz bok BC w punkcie E. Obliczyć:
a) |AC|, jeżeli |CD|=32, |CE|=24, |BC|=48
b) |AD|, jeżeli |CE|=6, |BE|=10, |AC|=24


132. Dane są odcinki o długościach: a, b, c. Opisać sposób konstrukcji odcinka d o długości:
a) d=\frac{ab}{c}
b) d=\frac{b^2}{a}


133. Znaleźć obraz kwadratu w jednokładności o środku w jednym z wierzchołków tego kwadratu i skali k=2.

134. Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w jednokładności o środku w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta i skali k=-\frac{1}{2}.

135. Znaleźć obraz odcinka \overline{AB}, gdzie A=(-1,2), B=(-2,-3) w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali k=3. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

136. Znaleźć obraz krzywej y=x^2 w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali k=\frac{1}{2}. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

zadania maturalne 137. Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
zadanie maturalne 16/2016

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10


zadania maturalne 138. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy


zadania maturalne 139. Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:

A. 2
B. 1/2
C. \sqrt{2}
D. \frac{\sqrt{2}}{2}


140. Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

141. W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

142. W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

143. W trójkącie prostokątnym wysokość o długości 2\sqrt{2}opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

144. W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

145. Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \sqrt{10}

146. Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

147. Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

zadania maturalne 148. Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12


149. Znaleźć dowolny trójkąt prostokątny, dla którego kwadrat krótszej przyprostokątnej jest równy 1/4 kwadratu przeciwprostokątnej.

150. Dane są kwadraty o polach \frac{1}{4} oraz \frac{1}{9}. Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?

151. Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

152. Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie


153. Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

154. W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

155. Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

156. Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

157. Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

158. W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

159. Obliczyć pole koła o średnicy d=\sqrt{2}

160. Obliczyć długość okręgu o średnicy d=7

161. Jaki promień ma koło o polu równym 1?

162. Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?

163. Pole koła jest równe π. Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.

164. Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu r=10 cm tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?

165. Oblicz długość okręgu danego równaniem (x-1)^2+(y-1)^2=2

166. Obliczyć długość łuku wyznaczonego przez półokrąg o promieniu 4.

167. Obliczyć długość łuku okręgu o kącie środkowym 30o i promieniu r=3.

168. Jaką miarę ma kąt środkowy, jeżeli długość łuku okręgu na nim opartego jest równa \frac{3}{4}\pi a promień tego okręgu ma długość 3?

169. Jakie pole zakreśla na zegarze sekundnik w czasie 1 sekundy, jeżeli długość tej wskazówki jest równa 20 cm?

170. Jaką część należy wyciąć z pierścienia kołowego, aby jego pole było równe \frac{\pi}{8}?

171. Obliczyć pole powierzchni pierścienia kołowego wyznaczonego przez okręgi x^2+y^2=4 oraz x^2+y^2=16

172. Pola dwóch kół współśrodkowych są równe odpowiednio 6 i 4. Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te koła.

173. Zbadać, czy wektory \vec{a}=[4,8], \ \vec{b}=[2,-1] są prostopadłe.

174. Jaki kąt tworzą ze sobą wektory \vec{a}, \ \vec{b}, jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 1, a długości tych wektorów są równe odpowiednio 2 i 1?

175. Dany jest wektor \vec{a}=[4,-5]. Oblicz \vec{a}\circ 2\vec{a}.

176. Dane są wektory \vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j},\ \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}. Oblicz \vec{a}\circ \vec{b}.

177. Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

178. Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

179. Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

180. Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).

181. Czy trójkąt wyznaczony przez wektory \vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1] jest trójkątem prostokątnym?

182. Zbadać, czy wektory \vec{a}=[12,24],\ \vec{b}=[-3,-6] są równoległe.

183. Dla jakiej wartości parametru m wektory \vec{a}=[2,-3],\ \vec{b}=[5,3m] są równoległe.

184. Dla jakiej wartości parametru m wektory \vec{a}=[m,3],\ \vec{b}=[4,-2m+1] są prostopadłe?

185. Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu x^2+16y^2=144? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.

186. Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu \frac{x^2}{4}+y^2=1

187. Dana jest elipsa o równaniu x^2+4y^2=4. Obliczyć mimośród tej elipsy.

188. Dana jest elipsa o mimośrodzie \varepsilon=\frac{1}{2} i ognisku w punkcie F=(\frac{3}{2},0). Znaleźć równanie tej elipsy.

189. Oblicz mimośród elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa


190. Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa


191. Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

192. Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu 2x^2+3y^2=6

193. Dany jest okrąg o równaniu x^2+y^2=4. Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?

194. Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu 6\pi i osi wielkiej elipsy o długości 6.

195. Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

196. Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

197. Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

198. Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

199. Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

200. Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

201. W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

zadania maturalne 202. Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014


203. Na kole o promieniu r=5 opisano kwadrat. Oblicz jego pole.

204. Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(3,0), B=(4,2), C=(2,3), D=(1,1).

205. Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni 1 ha organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada 1 m2 wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi 30 zł?

206. Środki kwadratu o boku a=10 połączono tak, że powstał w środku mniejszy kwadrat. Oblicz jego pole.

207. Przekątna kwadratu pokrywa się z ramieniem trójkąta równoramiennego o polu równym 16. Oblicz pole kwadratu.

208. Ile będzie kosztował zakup kafelek podłogowych dla przedstawionego na rysunku planu łazienki, jeżeli na ścinki i uszkodzenia założymy 5% rezerwy zaokrąglając liczbę metrów kwadratowych w górę, a metr kwadratowy kafelek kosztuje 45 zł?
Rysunek do zadania


209. Obwód prostokąta jest równy 10, długość jego przekątnej \sqrt{13}. Oblicz pole tego prostokąta.

210. Oblicz pole prostokąta, którego przekątne każda o długości 10 tworzą ze sobą kąt 30o

211. Pole prostokąta, którego przekątne tworzą ze sobą kąt 30o jest równe 16. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.

212. Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość ma długość 2, krótsza podstawa 4, a ramię ma długość 3.

213. Jedna z wysokości w równoległoboku o polu 10 ma długość 2, druga z wysokości ma długość 4. Oblicz obwód tego równoległoboku.

214. Kąt między dwoma bokami równoległoboku o długościach 5 cm i 6 cm ma miarę równą 30o. Oblicz pole tego równoległoboku.

215. Długość krótszego boku równoległoboku oraz jednej z jego przekątnych jest równa . Oblicz pole powierzchni tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że drugi z boków jest razy dłuższy od pierwszego.

216. Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

217. Dany jest romb o boku a=\sqrt{2}. Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

218. Wysokość rombu o polu 3 ma wartość \frac{3}{2}. Oblicz obwód tego rombu.

zadania maturalne 219. Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy :

A. 14°<α< 15°
B. 29°<α< 30°
C. 60°<α< 61°
D. 75°<α< 76°


zadania maturalne 220. Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015


221. Z dwóch listewek o długości 30 cm i 1,2 m oraz kawałka materiału zbudowano latawiec w kształcie deltoidu tak, że listewki tworzą jego przekątne. Jakie jest pole powierzchni użytego materiału?

222. Skonstruuj dziesięciokąt foremny

223. Skonstruuj dwunastokąt foremny

224. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \beta oraz \alpha przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \beta, \frac{\alpha}{2}.

225. Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości a=\sqrt{2}. Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

226. Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości d=2\sqrt{3} tworzy z podstawą kąt \alpha=30^o.

227. Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.

zadania maturalne 228. Kąt alfa jest ostry i tg{\alpha}=\frac{2}{3}. Wtedy:

A. sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}
B. sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}
C. sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}
D. sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}


zadania maturalne 229. Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π


zadania maturalne 230. Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°


zadania maturalne 231. Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy:
wzór

A. wzór
B. -4/5
C. -1
D. -5/4


232. Dany jest kąt 85o57'36''. Znaleźć jego miarę łukową.

233. Dany jest kąt \frac{\pi}{8}\ rad. Znaleźć jego miarę stopniową. Wynik wyrazić w stopniach i minutach.

234. Oblicz tg{75^o}.

235. Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

236. Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

237. Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}


238. Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1


239. Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}


240. Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

241. Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)


242. Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

zadania maturalne 243. Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


zadania maturalne 244. Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24


245. Obliczyć:
a) sin30°,
b) cos3285°,
c) tg1125°,
d) ctg210°.


246. Obliczyć:
a) sin(-45o)
b) ctg(-60o)
c) cos(-90o)


247. Obliczyć:
a) sin120o
b) cos135o
c) cos240o
d) sin225o


248. Obliczyć:
a) sin150o
b) tg120o


249. Obliczyć:
a) sin960o
b) tg2115o
c) cos2760o


250. Sprowadzić do prostszej postaci:
a)\ \sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\\ b)\ \cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\\ c)\ tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}


251. Sprowadzić do prostszej postaci:
a)\ \sin{(-x)}-\cos{(270^o-x)}\\ b)\ \sin{(x-90^o)}\\ c)\ \cos{(x-\pi)}


252. Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\sin{2x}.

253. Znaleźć okres podstawowy funkcji
a)y=sin2x
b) y=sinπx


254. Znaleźć okres podstawowy funkcji y=cos4x

255. Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\frac{1}{2}tg{(\frac{\pi}{2}x)}.

256. Znaleźć okres podstawowy funkcji y=tg4x

257. Znaleźć okres podstawowy funkcji:
a) y=3ctg{\frac{x}{\pi}}
b) y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}


258. W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku \alpha=45^o. Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

zadania maturalne 259. Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

260. Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli o średnicy 18 cm.

261. Z trzech pełnych kul, każdej o promieniu 10 cm, przelano wodę do jednej kuli o promieniu 30 cm. W jakiej części większa kula zapełni się wodą?

zadania maturalne 262. Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

zadania maturalne 263. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

zadania maturalne 264. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

zadania maturalne 265. Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10


zadania maturalne 266. Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.


zadania maturalne 267. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
wzór
Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL


zadania maturalne 268. Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :

A. \frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)
B. 8^2\cdot \sqrt{3}
C. \frac{8^2\sqrt{6}}{3}
D. 8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)


zadania maturalne 269. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

zadania maturalne 270. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

271. Ile osób może zagłosować używając kulek o średnicy 1 cm, wrzucając je do urny o wymiarach 1 m x 1 m x 1 m?

272. Przekątna sześcianu ma długość równą \sqrt{3}. Oblicz objętość tego sześcianu.

273. Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 2\sqrt{3}.

274. Narysować siatkę czworościanu foremnego o objętości 5 cm3.

275. Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.

276. Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 3. Jaka jest jego objętość?

277. Dany jest walec o wysokości 10 cm i promieniu podstawy 4 cm. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni.

278. Jaki promień podstawy musi mieć naczynie w kształcie walca o wysokości 30 cm, aby zmieścić w nim 3 litry mleka?

279. Dany jest stożek o promieniu podstawy 2cm i wysokości 6 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

zadania maturalne 280. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa :

A. 27\pi \sqrt{3}
B. 9\pi \sqrt{3}
C. 18\pi
D. wzór


zadania maturalne 281. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

282. Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \frac{\sqrt{2}}{3}?

283. Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa 3\sqrt{2}.

284. Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

285. Jak wykonać siatkę ośmiościanu foremnego o objętości 1 cm3 ?






Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:285.


© Media Nauka 2008-2017 r.