Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadania z działu Równania, nierównosci i układy równań

zadania ikona

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Równania, nierównosci i układy równań". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.


1. Znaleźć dziedzinę równania:
x=\frac{1}{\sqrt{x}}
b) \frac{x}{2x+1}=\frac{1}{x^2-4x+4}


zadania maturalne 2. Jedną z liczb, które spełniają nierówność wzór jest:

A. 1
B. -1
C. 2
D. -2


3. Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?

4. Rozwiązać równanie:
a) 5x-3=7x+8
b) \sqrt{2}x+1=x+\sqrt{2}
c) \frac{1}{2}x-\frac{3}{7}=\frac{x}{2}-2


5. Rozwiązać równanie (x-2)^2=(x+2)^2

6. Rozwiązać równanie \frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}

7. Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem równania x-m+1=3x-2 jest liczba 2?

8. Rozwiązać równanie \frac{x}{m-2}+m=5 ze względu na zmienną x.

9. Jacek jest o 3 lata starszy od Maćka. Razem chłopcy mają 15 lat. Ile lat ma każdy z chłopców?

10. Na jaki procent należy włożyć na lokatę 200 zł, aby po roku oszczędzania otrzymać 5 zł odsetek?

11. Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest ryba, odpowiedział zagadkowo: "Łeb szczupaka mierzy 6 cm, tułów ma długość taką jak głowa i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile głowa i ćwierć długości głowy". Jaką długość ma szczupak?

zadania maturalne 12. Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność \frac{2}{7}< \frac{x}{14} < \frac{4}{3}?

A. 14
B. 15
C. 16
D. 17


13. Rozwiązać nierówność:
a) \frac{1}{2}(x-1)+x\geq 5-2(x+2)
b) (x-5)^2\geq (x+4)^2
c) \frac{2x-3}{5}>\frac{1-x}{2}


14. Rozwiązać nierówność: x^2+ax<(x-a)^2 ze względu na niewiadomą x.

15. W pewnej liczbie dwucyfrowej liczba jedności jest o 4 większa od liczby dziesiątek. Znaleźć tę liczbę, jeśli wiadomo, że jest większa od 40 i mniejsza od 50.

16. Dziadek jest dwa razy starszy od wnuczka. Kiedy suma ich wieku przekroczy 90 lat?

17. Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

18. Rozwiązać nierówność 2-|x+1|>3+x

19. Rozwiązać nierówność |2x+1|>3

20. Rozwiązać równanie |-3x+1|=2x+4

21. Rozwiązać równanie \frac{|x|}{3}-1=2x

22. Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

zadania maturalne 23. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}. Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.


24. Znaleźć rozwiązanie graficzne równania 3x+2y=4

25. Dane jest równanie: \sqrt{2}x+2y=1. Dla jakich wartości parametru a para liczb (1,a) spełnia to równanie?

26. Dana jest nierówność: 5x-10y>1. Dla jakich wartości parametru a para liczb (-1,a) spełnia nierówność?

27. Wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności:
a) -y-x\geq -1
b) 2y-6x-4<0
c) y+x\geq 2y+x+1


28. Opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę przedstawioną na rysunku:
półpłaszczyzna w układzie współrzędnych


29. Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y=3x-5 oraz y=-5x+3

zadania maturalne 30. Proste o równaniach 2x-3y=4 i 5x-6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:

A. P=(1,2)
B. P=(-1,2)
C. P=(-1,-2)
D. P=(1,-2)


zadania maturalne 31. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x)=x-2 oraz g(x)=5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

zadania maturalne 32. Układ równań \begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases} opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie :

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.


zadania maturalne 33. W układzie współrzędnych są dane punkty A =(-43,-12) , B = (50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

zadania maturalne 34. Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
wzór
Wskaż ten układ:
A. \begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}
B. \begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}
C. \begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}
D. \begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}


35. Rozwiązać graficznie układ nierówności
\begin{cases}y<3x+1 \\ y<-3x+1 \\y>x-1 \end{cases}


36. Dany jest układ nierówności
\begin{cases}x>-1 \\ x<1 \\y>-1\\ y<1 \end{cases}
Który z punktów:
A(0,0),
B(1,1),
C(0,-1),
należy do graficznego rozwiązania układu nierówności?


37. Opisać za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku, wiedząc, że punkty A, B i C mają całkowite współrzędne.
Układ nierówności graficznie


38. Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}


39. Rozwiązać układ nierówności:
\begin{cases} \ \ 2y+x<1 \\ -2y-x<-2 \end{cases}


40. Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}
b) \begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}


41. Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}
b) \begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}


42. Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola


43. Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}
b) \begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}


44. Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}
b) \begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}
c) \begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}


45. Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}
nie ma rozwiązania?


46. Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}
ma nieskończenie wiele rozwiązań?


47. Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}
ma jedno rozwiązanie?


48. Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}


49. Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}


50. Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

51. Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

52. Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0


53. Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0


54. Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

55. Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

56. Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

57. Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

zadania maturalne 58. Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

59. Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

60. Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

61. Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

62. Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

63. Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

zadania maturalne 64. Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

zadania maturalne 65. Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

66. Rozwiązać równanie x^4+x^2=12

67. Rozwiązać równanie 8x^4-6x^2+1=0

68. Dla jakiej wartości parametru m równanie mx^2+4mx-m+1=0 ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie.

69. Rozwiązać równanie \frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x} w zależności od parametru a.

70. Rozwiązać równanie \frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x} w zależności od parametru a.

71. Określić liczbę rozwiązań równania (a+3)x^2-(a+1)x+1=0 w zależności od parametru a.

72. Dla jakiej wartości parametru m równanie m^2x^2-6x+9=0 ma jedno rozwiązanie?

73. Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x^2-mx-m-1=0 jest najmniejsza.

74. Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

75. Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log(5x^2-3x+1)

76. Rozwiązać nierówność 2x^2-|x+1|\leq -1

77. Rozwiązać nierówność:
a) x^2+2x-3\geq 0
b) -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0
c) -x^2+2\leq 0


78. Rozwiązać nierówność:
a) \sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0
b) -x^2-2x-5\geq 0


79. Rozwiązać nierówność:
a) x^2+8x+16> 0
b) -x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0


80. Dla jakich wartości parametru m nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1?

81. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności x^2+mx-1+m> 0 jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?


82. Rozwiązać nierówność \frac{x}{x+1}\geq 2

zadania maturalne 83. Rozwiązać nierówność 2x^2-4x>3x^2-6x.

zadania maturalne 84. Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).

85. Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

86. Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych


87. Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

88. Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

89. Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

90. Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

zadania maturalne 91. Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

zadania maturalne 92. Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4


93. Rozwiązać graficznie nierówność:
a) x^2+y^2\leq 4
b) x^2+y^2>1


94. Rozwiązać graficznie nierówność xy+2>1

95. Rozwiązać graficznie nierówność y\leq -x^2+x+2

96. Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}


97. Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}


98. Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}


99. Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}


100. Rozwiązać graficznie układ równań
\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}


101. Dla jakich wartości parametru m układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}:
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?


102. Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}


103. Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) \begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}


104. Rozwiązać graficznie układ nierówności
\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}


105. Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole)

Figura w układzie współrzędnych


106. Rozwiązać równanie \sqrt{-x}=4.

107. Rozwiązać równanie \sqrt{x-1}=x+1.

108. Rozwiązać równanie \sqrt{x+1}=x+1.

109. Rozwiązać równanie \sqrt{x^2-2x+4}=x-4

110. Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

111. Rozwiązać równanie wielomianowe x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0.

112. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}

113. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}

114. Rozwiązać równanie x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0

115. Rozwiązać równanie 8x^3-10x^2+x+1=0

116. Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0 ma podwójny pierwiastek, równy 3?

117. Rozwiązać równanie 3x^2=\frac{6}{x+1}

118. Rozwiązać równanie 30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0.

zadania maturalne 119. Rozwiązać równanie (4-x)(x^2+2x-15)=0.

zadania maturalne 120. Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa:

A. -1
B. 21
C. 1
D. -21


zadania maturalne 121. Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \quad i \quad \frac{2x-10}{x-1}=0 jest liczba:

A. -1
B. 1
C. 5
D. 10


zadania maturalne 122. Rozwiąż równanie 9x3+18x2-4x-8=0.

123. Rozwiązać nierówność:
a) x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0
b) x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0.


124. Rozwiązać nierówność (x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0.

125. Rozwiązać nierówność x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0

126. Rozwiązać nierówność \frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0

127. Rozwiąż nierówność: \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0

128. Rozwiązać nierówność: \frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1

129. Rozwiązać równanie wykładnicze 3^{\frac{1}{x}}=27^x

130. Rozwiązać równanie wykładnicze 8^{2x-4}=256

131. Rozwiązać równanie wykładnicze (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

132. Rozwiązać równanie wykładnicze 4^x-2^{x+1}=-1

133. Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3


134. Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=2

135. Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=1

136. Rozwiązać równanie \log_{x}{3x}=3

137. Rozwiązać równanie \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0

138. Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2

139. Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2

140. Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0

141. Rozwiązać równanie logarytmiczne \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0

142. Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1

143. Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{x}{3}<0

144. Rozwiązać nierówność logarytmiczną \frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2

145. Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}

146. Rozwiązać nierówność logarytmiczną \log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0

147. Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{5^x}{5}\leq 7.

148. Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{3^{2x}}{9}\geq 1

149. Rozwiązać nierówność wykładniczą (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}

150. Rozwiązać nierówność wykładniczą 25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0

151. Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0

152. Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq1

153. Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1


154. Rozwiązać równanie:
a) ctg3x=\sqrt{3}
b) 2\cos{3x}=\sqrt{2}
c) \cos{5x}=\sqrt{2}


zadania maturalne 155. Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.


156. Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

157. Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

158. Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

159. Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

160. Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

161. Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

162. Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

163. Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

164. Rozwiązać nierówność:
a) tgx\leq \sqrt{3}
b) 2\cos{x}>4


165. Rozwiązać nierówność:
a) \sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}
b) ctg3x<1


zadania maturalne 166. Rozwiąż nierówność \frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0 w przedziale \langle 0;2\pi\rangle.

zadania maturalne 167. Równanie wymierne \frac{3x-1}{x+5}=3, gdzie x≠-5,

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste


zadania maturalne 168. Równanie \frac{x-1}{x+1}=x-1:

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=1.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=0.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=-1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: x=0, x=1.







Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:168.


© Media Nauka 2008-2017 r.